L'àrea (dîta ària ascì) a l'é a quantitæ ch'a mezûa l'estensción de 'na superfìcce ciànn-a, sàiva a dî de 'na figûa inte dôe dimenscioìn. Defæti a superfìcce a l'é o lêugo di pónti scitoæ in sciâ región de ciàn, co-a sò estensción ch'a l'é pe cóntra l'àrea^[1].

Pe figûe inte træ dimenscioìn, l'àrea l'é definîa cómme a superfìcce totâle de quéllo ògètto, inte sto câxo chi se parliâ defæti de àrea superficiâle^[2][3].

E unitæ de mezûa de l'àrea són corispóndenti a-e relatîve unitæ de mezûa da longhéssa: ògni àrea de grandéssa unitâia a l'é determinâ da 'n quadrâto ch'o l'à di lâti che són de longhéssa unitâia lê ascì.

L'unitæ de mezûa fondamentâle a l'é o mêtro quàddro, çernûa da-o scistêma internaçionâle de unitæ de mezûa e derivâ da-o mêtro, unn-a de 7 unitæ de bâze. E âtre unitæ inportànti són riportæ inta tabélla chi de sótta^[4]:

Coscì cómme pe-e unitæ de mezûa da longhéssa, inte naçioìn di Stâti Unîi d’América, da Libeîa e do Myanmar, óltre che parçialménte into Régno Unîo e in Cànada ascì, s'adêuvian de unitæ diferénti. Prezénpio gh'é^[5]:

• 1 pòlice quàddro = 6.4516 cm²
• 1 pê quàddro = 0.09290304 m²
• 1 iàrda quàddra = 0.83612736 m²
• 1 mìggio quàddro = 2.589988110336 km²

Notâ che o mìggio utilizòu o l'é quéllo terèstre (lóngo 1.609,344 m) e no quéllo mæn (lóngo 1.852 m).

Storicaménte són existîe numerôze unitæ pe mezuâ l'estensción de 'n terén. Câxo particolâ o l'é quéllo da giornâ piemontéize (Giornà inta léngoa locâle): pægia ciù ò mêno a 3.810 m², a l'é dêuviâ ancón a-a giornâ d’ancheu inte quélla región e inti doî comùn de Çéngio e Mascimìn ascì, inta provìnsa de Sànn-a.

L'àrea do çèrcio a l'êa za stæta calcolâ da-i grêghi antîghi into quìnto sécolo prìmma de Crìsto. A ògni mòddo, l'Ippocrate de Scîo o l'àiva sôlo scovèrto ch'a gh'è 'na relaçión quadràtica tra o ràggio e l'àrea, sénsa determinâ o valô do fatô moltiplicativo. Quésto o l'é stæto determinòu da-o matemàtico grêgo Archimêde into sò lìbbro A mezûa do çèrcio, dond'o l'é stæto ciamòu pe-a prìmma vòtta π, pi grêgo.

Into 1761 o matemàtico svìsero Johann Heinrich Lambert o l'à dimostròu che π o l'é 'n nùmero iraçionâle e, into 1882, o matemàtico tedésco Ferdinand von Lindemann o l'à pe cóntra mostròu che π o l'é 'n nùmero trascendentâle ascì.

L'àrea do triàngolo a l'é stæta fòscia determinâ za da-o matemàtico grêgo-egiçiàn Erón de Lusciàndria, calcolâ rispètto a-i sò lâti, into lìbbro Metrica, scrîto ciù ò mêno inte l'ànno 60 dòppo crìsto. Però l'é poscìbile, cómme àn sugerîo çèrti stòrichi, che za doî sécoli prìmma o grànde matemàtico Archimêde o savésse de sta fórmola chi pe calcolâ l'àrea do triàngolo.

L'introduçión do ciàn cartexàn into sécolo XVII da pàrte do matemàtico françéize René Descartes a l'à permìsso a-o Gauss, into sécolo XIX, de elaborâ a fórmola pe calcolâ l'àrea de tùtte e figûe ciànn-e, se són conosciûe e coordinæ di sò vèrtichi.

Co-a scovèrta do càlcolo integrâle, avegnûa a-a fìn do sécolo XVII, l'é diventòu poscìbile calcolâ àree de figûe bén bén ciù conplèsse, óltre che de superfìcce cùrve de figûe inte træ dimenscioìn.

A fórmola ciù sénplice pe calcolâ 'n'àrea a l'é quélla do retàngolo, sàiva a dî:

${\displaystyle A=b*h}$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do retàngolo.

Quésta fórmola a peu êse dêuviâ pe definî l'òperaçión da moltiplicaçión ascì, partìndo da 'n ògètto giömétrico.

Into câxo b = h, ö sæ se a bâze a l'é pægia a l'altéssa, a figûa analizâ a saiâ 'n quadrâto e a sò àrea a se poriâ calcolâ cómme:

${\displaystyle A=l*l=l^{2}}$ dónde l a l'é ciaschedùn lâto de quéllo quadrâto^[3].

Pe figûe comme triàngoli, trapéççi o paralêlogràmmi s'adêuvia o método da diseçión, "ricostroìndo" a figûa inte 'n retàngolo ò 'n triàngolo. Defæti, ciaschedùn paralêlogràmmo o peu êse spartîo inte 'n trapéçio e 'n triàngolo. A sto pónto chi, se peu façilménte dimostrâ cómme l'àrea da figûa coscì òtegnûa a ségge pægia a quélla do retàngolo con mæxima bâze e altéssa. Dónca, l'àrea de 'n paralêlogràmmo a l'é:

${\displaystyle A=b*h}$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo.

Pe de ciù, 'n çèrto paralêlogràmmo o l'é divîzo inte dôe pàrte pægie da unn-a de sò diagonâle, ciaschedùnn-a de quæ a l'é 'n triàngolo. L'àrea de sta figûa chi a l'é dónca:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo ch'o contêgne o triàngolo. A-a mæxima manêa se peu ricavâ l'àrea do trapéçio e quélla do rónbo^[4].

L'àrea do çèrcio a peu êse ricavâ co-in scistêma scìmile a-o método da diseçión: defæti, dæto 'n çèrcio de ràggio r, se peu divìdde a figûa inte vàrri setoî de fórma squæxi triangolâre che, unîi tra lô, conponián in paralêlogràmmo de altéssa r e de bâze a meitæ da circonferénsa, ö sæ πr.

Dónca, l'àrea do çercio a saiâ pægia a:

${\displaystyle A=\pi *r^{2}}$ dónde r a l'é o ràggio do çèrcio e π a l'é a costànte pi grêgo.

Scimilménte, se peu calcolâ l'àrea de l'elìsse, ch'a saiâ pægia a:

${\displaystyle A=\pi xy}$ dónde x a l'é a meitæ da longhéssa da diagonâle magiô e y a l'é meitæ da longhéssa da diagonâle minô^[4].

L'idêa derê a-o càlcolo da superfìcce de 'na figûa inte træ dimenscioìn a l'é quélla de "tagiâ" e "sciacâ" quésta lóngo i sò spîghi de mòddo d'òtegnî 'na figûa bidimenscionâle da quæ a se sàcce còmme calcolâ l'àrea, adêuviàndo i scistêmi za analizæ. L'ùnica figûa ch'a no se peu sciacâ e risòlve con sto método chi a l'é a sfêra: inte quésto câxo bezéugna adêuviâ a fórmola de l'Archimêde, dónca:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ dónde r l'è o ràggio da sfêra e π l'è a costànte pi grêgo^[6].

Sta fórmola chi l'è stæta scrîta pe-a prìmma vòtta da l'Archimêde into sò lìbbro Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (Da sfêra e do cilìndro).

Fórmole inmediâte pe-o càlcolo de l'àrea de âtre figûe tridimenscionâli són:

• Superfìcce do cùbbo: ${\displaystyle A=6l^{2}}$ dónde ${\displaystyle l^{2}}$ a l'é l'àrea de ciaschedùnn-a de sêi fàcce quadrâte^[7].
• Superfìcce do cilìndro: ${\displaystyle A=2\pi r^{2}+2\pi rh}$ dónde ${\displaystyle 2\pi r^{2}}$ a l'é dôe vòtte l'àrea da bâze e ${\displaystyle 2\pi rh}$ a l'é l'àrea da fàccia verticâle^[8].
• Superfìcce do cöno: ${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$, notâ che ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ a l'é a mezûa de l'apotêma do cöno^[9].

Con l'introduçión, into perîodo de l'Iluminìsmo, do càlcolo infiniteximâle, l'é diventòu poscìbile calcolâ l'àrea de tùtte e figûe conpréize sótta a-a cùrva de 'na fonçión conosciûa, gràçie a-o coscì dîto integrâle definîo ò integrâle segóndo Riemann. Defæti, dæta 'na fonçión definîa in sce l'intervàllo [a,b] e poxitîva inte sto intervàllo chi, l'integrâle definîo ${\displaystyle {\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)dx}}$ o l'é pægio pe-a sò definiçión a l'àrea de sótta a-o gràfico da fonçión ${\displaystyle f(x)}$ (se poxitîva) conpréiza tra i pónti a e b. Into câxo a fonçión a ségge negatîva, l'àrea coscì òtegnûa a l'é pe cóntra quélla conpréiza sórvia a-a cùrva da fonçión, sótta a l'àsse de ascìsse.

In concluxón, l'àrea conpréiza tra i gràfichi de dôe fonçioîn poxitîve a saiâ a diferénsa tra o valô de quéste pe tùtto o gràfico, dónca: ${\displaystyle {\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)-g(x)dx}}$^[10].

• Longhéssa
• Volùmme

• Wikimedia Commons a contêgne di files in sce àrea