Fattoriale

In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale $n$ , indicato con $n!$ , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:

n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n

per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre $0!:=1$ . La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.

La notazione con il punto esclamativo è stata introdotta nel 1807 da Christian Kramp, mentre il nome fattoriale era stato coniato pochi anni prima, nel 1800 da Antoine Arbogast.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) come sequenza A000142.

Esempio di numeri fattoriali

I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Definizione ricorsiva

La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

n!:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0,\\n(n-1)!&{\text{se }}n\geq 1\end{cases}}

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

Zero fattoriale

Nella definizione come produttoria, la richiesta che $0!$ sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad $1$ . Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire $1!=1$ e osservare che

1=1!=1\cdot (1-1)!=1\cdot 0!=0!

come si desume dalla definizione ricorsiva.

Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono $n!$ diverse sequenze formate da $n$ oggetti distinti, cioè vi sono $n!$ permutazioni di $n$ oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di $k$ oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di $n$ elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di $k$ elementi di un dato insieme di $n$ oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

{\binom {n}{k}}={\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la $n$ -esima derivata di $x^{n}$ è $n!$ ; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione $f(x)$ come serie di potenze nella $x$ servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Varianti e generalizzazioni

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.

Funzione gamma

La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale

\Gamma (z):=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.

per essa si dimostrano facilmente le proprietà

\Gamma (1)=1\qquad \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.

essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{+\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.

Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

Semifattoriale o doppio fattoriale

La notazione $n!!$ denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di $n$ ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

n!!={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0{\text{ o }}n=1,\\n\cdot (n-2)!!&{\text{se }}n\geq 2.\end{cases}}

per esempio $8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$ e $9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$ . La sequenza di semifattoriali per $n=0,1,2,\dots$ è la seguente^[1]:

1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

{\begin{aligned}n!&=n!!\cdot (n-1)!!\\2^{n}\cdot n!&=(2n)!!\\{\dfrac {(2n+1)!}{2^{n}\cdot n!}}&=(2n+1)!!\end{aligned}}

La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a

2n+1

equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a

2n+1

per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia

2^{n}\cdot n!

).

Multifattoriale

La notazione $n!_{(\alpha )}$ denota il multifattoriale di $n$ ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

n!_{(\alpha )}={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0\\n&{\text{se }}0<n<\alpha \\n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{se }}n\geq \alpha .\end{cases}}

Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di $n!$ può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di $n$ ; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo $n$ lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su $100$ cifre decimali riesce a calcolare $69!$ , ma non il fattoriale successivo, in quanto $70!>10^{100}$ .

Quando $n$ è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di $n!$ e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}~.

Note

^ (EN) Sequenza A006882, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

(FR) M. J. Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
(EN) Srinivasa Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X.