시미즈 L-함수는 완전 실수체의 대수적 수체와 관련된 디리클레 시리즈이다. 1963년에 시미즈 히데오(清水英男)에 의해 처음 소개되었다.^[1]

K가 완전 실수체이고, M이 K에서의 격자, 그리고 V가 격자를 보존하는 완전 양가역 정수군(group of totally positive units)의 최대 차수(maximal rank) 부분군이라고 하자. 그러면 시미즈 L-시리즈는

${\displaystyle L(M,V,s)=\sum _{\mu \in \{M-0\}/V}{\frac {\operatorname {sign} N(\mu )}{|N(\mu )|^{s}}}}$

로 표현될 수 있다.

1958년에 마르틴 아이클러는 부정 사원수 대수의 오일러 곱은 타원 모듈러 형식에 의해 얻어지는 오일러 곱에 모두 포함되어 있다는 것을 보였다.^[2] 이것을 일반화한 것이 시미즈의 1963년 논문^[1]이며, 여기서 '시미즈 L-함수'의 개념이 처음 소개되었다. 이후 1983년에 마이클 아티야, 도넬리(H. Donnelly), 이자도어 싱어는 다양체 경계의 부호수 결함(signature defect)을 에타(η) 불변량으로 정의했는데, η함수의 값은 η = 0이며, 이것을 사용하여 힐베르트 모듈러 곡면(Hilbert modular surface)에서 첨점이 갖는 부호수 결함^[3]이 시미즈 L-함수의 s = 0 또는 1에서의 값으로 표현될 수 있음을 보였다.^[4][5]

• 디리클레 에타 함수

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