위상수학에서 n-연결 공간(n-connected space)은 경로 연결 공간 · 단일 연결 공간 등을 일반화한 개념이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 호모토피 군 ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$가 다음과 같은 성질을 만족할 경우 ${\displaystyle X}$를 n-연결이라고 부른다.

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n}$

다시 말해, ${\displaystyle i=0}$인 경우에는 호모토피 군이 한 원소 집합이고, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$인 경우에는 호모토피 군이 자명하다(${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong 0}$)는 것이다.

만약 모든 ${\displaystyle i\geq 0}$에 대해서 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0}$일 경우 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle \infty }$-연결이라고 부른다.

문헌에 따라서는 ${\displaystyle X}$가 비어있지 않을 것을 조건으로 추가하고, ${\displaystyle X}$가 비어있지 않은 상태를 (-1)-연결로 정의하기도 한다.

${\displaystyle X}$가 비어있지 않을 경우, 정의에 따라 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle X}$가 0-연결인 것은 ${\displaystyle X}$가 경로 연결인 것과 동치이다.
• ${\displaystyle X}$가 1-연결인 것은 ${\displaystyle X}$가 단일 연결인 것과 동치이다.

후레비치 정리에 따르면 ${\displaystyle n\geq 1}$일 경우 ${\displaystyle n}$-연결 공간 ${\displaystyle X}$에 대해 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \pi _{k}(X)\cong \operatorname {H} _{k}(X;\mathbb {Z} ),\quad k>n}$

• 구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$은 ${\displaystyle (n-1)}$-연결 공간이다.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$은 축약 가능 공간이므로 ${\displaystyle \infty }$-연결이다.

• 연결 공간