함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.

C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

• 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다.
• 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다.
• 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

복소수 벡터 공간 ${\displaystyle A}$ 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle (A,^{*})}$는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 ${\displaystyle a\in A}$ 및 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$에 대하여 ${\displaystyle (\lambda a)^{*}={\bar {\lambda }}a^{*}}$이다.)
• ${\displaystyle (A,\|\|)}$는 복소수 바나흐 대수이다.

그렇다면, ${\displaystyle (A,^{*},\|\|)}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 ${\displaystyle (A,^{*},\|\|)}$가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.

• (C* 항등식 영어: C* identity) ${\displaystyle \Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert }$
• (B* 항등식 영어: B* identity) ${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert }$

(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)

일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.

(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 ${\displaystyle (A,^{*})}$가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.

• ${\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)}$는 ${\displaystyle A}$ 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*}a)\subseteq \mathbb {C} }$는 유계 집합이다.
  • 임의의 ${\displaystyle a\in A\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle 1+\lambda a^{*}a}$가 가역원이 아니게 만드는 복소수 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$가 존재한다.
  • (삼각 부등식) 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여, ${\displaystyle \sup \operatorname {sp} (a^{*}a+b^{*}b+a^{*}b+b^{*}a)\leq \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)+\sup \operatorname {sp} (b^{*}b)}$이다.
• ${\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)}$는 완비 노름을 이룬다.

이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 ${\displaystyle \|a\|=\sup \operatorname {sp} (a^{*}a)=\operatorname {sp} (aa^{*})}$임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 ${\displaystyle \operatorname {sp} (ab)\cup \{0\}=\operatorname {sp} (ba)\cup \{0\}}$이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.

복소수 대합 대수 ${\displaystyle A}$의 *-표현(영어: *-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 ${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$. 즉, ${\displaystyle \iota }$는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, ${\displaystyle \iota (a^{*})=\iota (a)*\;\forall a\in A}$. 여기서 우변의 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.)

만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)

겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 영어: Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 ${\displaystyle A}$의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 작용

${\displaystyle \iota \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$

가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 ${\displaystyle ^{*}}$에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.

${\displaystyle A}$가 C* 대수라고 하고, ${\displaystyle x\in A}$라고 하자.

• 만약 ${\displaystyle y\in A}$가 존재하여 ${\displaystyle y^{*}y=x}$라면, ${\displaystyle x}$를 음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
• 만약 ${\displaystyle x=x^{*}}$라면, ${\displaystyle x}$를 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
• ${\displaystyle xx^{*}=x^{*}x=1}$이라면, ${\displaystyle x}$를 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
• ${\displaystyle x}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \sigma (x)\subset \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle \lambda \cdot 1-x}$가 가역원이 아니게 되는 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$들의 집합이다. 일반적으로, ${\displaystyle \sigma (x^{*})={\bar {\sigma }}(x)}$이다.
• ${\displaystyle x}$의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 ${\displaystyle \sup |\sigma (x)|=\nu (x)}$를 ${\displaystyle x}$의 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  ${\displaystyle \nu (x)=\lim _{n\to \infty }\Vert x^{n}\Vert ^{1/n}}$

유한 또는 무한 개의 C* 대수 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간

${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}A_{i}}$

${\displaystyle a\in {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\iff \sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}<\infty }$

위에 균등 노름

${\displaystyle \|a\|_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=\sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}}$

및 성분별 곱셈

${\displaystyle (ab)_{i}=a_{i}b_{i}\qquad (i\in I)}$

을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 ${\displaystyle 1_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=(1_{A_{i}})_{i\in I}}$ 이다.

물론, 만약 ${\displaystyle I}$가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$과 같다.

다음이 주어졌다고 하자.

• C* 대수 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle A}$의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}$. 또한, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$가 닫힌집합이라고 하자.

그렇다면, 그 몫환 ${\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}$ 역시 C* 대수를 이룬다.

C* 대수 ${\displaystyle A}$ 및 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 행렬 대수 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)}$는 ${\displaystyle A}$ 성분의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여 ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (V,V)}$라면, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)\subseteq \operatorname {B} (V^{\oplus n},V^{\oplus n})}$으로 여길 수 있다.

만약 ${\displaystyle n=0}$일 경우, 이는 자명환이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• (항등원을 갖는) 두 C* 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$
• (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 ${\displaystyle f\colon A\to B}$. 즉, ${\displaystyle f}$는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 (${\displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}\;\forall a\in A}$).

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.

또한, 만약 ${\displaystyle f}$가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, ${\displaystyle \|a\|_{A}=\|f(a)\|_{B}\;\forall a\in A}$이다.

이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 ${\displaystyle \operatorname {C*Alg} }$를 이룬다.

 이 부분의 본문은 스펙트럼 (함수해석학)입니다.

C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*})=\{{\bar {\lambda }}\colon \lambda \in \operatorname {sp} (a)\}}$

이다.

C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$의 부분 집합이다.

모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.

한원소 집합 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

임의의 유한 차원 C* 대수 ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in I}\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$는 작용소 노름이 부여된, ${\displaystyle n\times n}$ 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.

(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 ${\displaystyle A}$의 스펙트럼(영어: spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)

${\displaystyle {\hat {A}}=\hom(A,\mathbb {C} )\subseteq A^{*}}$

즉, ${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$ *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,

${\displaystyle {\hat {A}}\subseteq \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} _{A^{*}}(0,1)\right)}$

이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle A^{*}}$의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 ${\displaystyle {\hat {A}}}$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자

${\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}\colon \operatorname {comC*Alg} \to \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }}$

를 정의한다. 여기서

• 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다.
• 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다.

반대로, 다음과 같은 함자

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,-)\colon \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {comC^{*}Alg} }$

를 정의할 수 있다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f|}$ 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
• 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$에 대한 상은 다음과 같다.

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon {\mathcal {C}}^{0}(Y,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )}$

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon \phi \mapsto \phi \circ f}$

겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 영어: Gelfand representation theorem)에 따르면, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$와 ${\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}}$ 함자는 사실 두 범주 ${\displaystyle \operatorname {comC*Alg} }$와 ${\displaystyle \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }}$ 사이의 범주의 동치를 정의한다.

특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여

${\displaystyle A\cong {\mathcal {C}}^{0}({\hat {A}},\mathbb {C} )}$

이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 ${\displaystyle A}$는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.

임의의 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 모든 유계 작용소들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$가 유한 차원이라면, 이는 ${\displaystyle n\times n}$ 복소수 행렬들로 구성된다.

임의의 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {K} (V,V)}$은 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환

${\displaystyle {\frac {\operatorname {B} (V,V)}{\operatorname {K} (V,V)}}}$

은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(영어: Calkin algebra)라고 한다.

C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.

겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.

• 바나흐 대수
• 작용소 K이론

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