A* 알고리즘(A* algorithm 에이 스타 알고리즘^[*])은 주어진 출발 꼭짓점에서부터 목표 꼭짓점까지 가는 최단 경로를 찾아내는(다시 말해 주어진 목표 꼭짓점까지 가는 최단 경로임을 판단할 수 있는 테스트를 통과하는) 그래프 탐색 알고리즘 중 하나이다. 이 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 유사하나 차이점은 각 꼭짓점 ${\displaystyle x}$에 대해 그 꼭짓점을 통과하는 최상의 경로를 추정하는 순위값인 휴리스틱 추정값 ${\displaystyle h(x)}$ 을 매기는 방법을 이용한다는 것이다. 이 알고리즘은 이 휴리스틱 추정값의 순서로 꼭짓점을 방문한다. 그러므로 A* 알고리즘을 너비 우선 탐색의 한 예로 분류할 수 있다.

이 알고리즘은 1968년 피터 하트, 닐스 닐슨, 버트램 라팰이 처음 기술하였다. 그 3명의 논문에서, 이 알고리즘은 A 알고리즘(algorithm A)이라고 불렸다. 적절한 휴리스틱을 가지고 이 알고리즘을 사용하면 최적(optimal)이 된다. 그러므로 A* 알고리즘이라고 불린다.

A* 알고리즘은 출발 꼭짓점으로부터 목표 꼭짓점까지의 최적 경로를 탐색하기 위한 것이다. 이를 위해서는 각각의 꼭짓점에 대한 평가 함수를 정의해야 한다. 이를 위한 평가 함수 ${\displaystyle f(n)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle f(n)=g(n)+h(n)}$

• ${\displaystyle g(n)}$ : 출발 꼭짓점으로부터 꼭짓점 ${\displaystyle n}$까지의 경로 가중치
• ${\displaystyle h(n)}$ : 꼭짓점 ${\displaystyle n}$으로부터 목표 꼭짓점까지의 추정 경로 가중치

3 x 3의 숫자판에 1~8까지의 숫자와 빈칸이 주어져 있다고 하자. 숫자를 인접한 빈칸으로 옮기는 작업을 반복함으로써 주어진 숫자 배열로부터 목표가 되는 숫자 배열로 바꾸되, 숫자의 총 이동 횟수를 최소로 하고자 한다. 이 문제를 A* 알고리즘으로 푸는 과정은 다음과 같다.

  ${\displaystyle f(n)}$ = g(n) + h(n)

  ${\displaystyle g(n)}$ : 현재까지의 값, 즉 지금까지 움직인 횟수

  ${\displaystyle h(n)}$ : 앞으로 예상되는 값, 위에서는 제자리에 있지 않은 퍼즐의 수

pq.enqueue(start_node, g(start_node) + h(start_node))       // 우선순위 큐에 시작 노드를 삽입한다.

while pq is not empty       // 우선순위 큐가 비어있지 않은 동안
    node = pq.dequeue       // 우선순위 큐에서 pop한다.

    if node == goal_node    // 만약 해당 노드가 목표 노드이면 반복문을 빠져나온다.
        break

    for next_node in (next_node_begin...next_node_end)       // 해당 노드에서 이동할 수 있는 다음 노드들을 보는 동안
        pq.enqueue(next_node, g(node) + cost + h(next_node)) // 우선순위 큐에 다음 노드를 삽입한다.

return goal_node_dist       // 시작 노드에서 목표 노드까지의 거리를 출력한다.

// 이 소스 코드의 그래프는 인접 리스트 방식으로 그래프를 표현하였다.
using ii = pair<int, int>;

priority_queue<ii, vector<ii>, greater<ii> > pq;
/// N_VER은 그래프의 정점의 개수를 의미한다.
int dist[N_VER], cost[N_VER][N_VER]; /// dist[i]는 i번째 정점까지 가는 최단 거리를 의미한다.
vector<ii> edges[N_VER]; /// edges[i]는 i와 연결된 정점과 가중치를 묶어 저장하는 벡터이다.

int minDist(int src, int dst) {
    pq.emplace(0, src);
    bool success = false;
    while (!pq.empty()) {
        int v = pq.top(); pq.pop();
        if (v == dst) {
            success = true;
            break;
        }
        for (ii& adj : edges[v]) {
            if (dist[adj.first] < g(v) + adj.second + h(adj.first)) {
                dist[adj.first] = g(v) + adj.second + h(adj.first); // 이완 (relaxation)
                pq.emplace(dist[adj], adj); // 다음 정점 후보에 탐색하고 있는 정점을 넣는다.
            }
        }
    }
    if (!success) return -1;
    else return dist[dst];
}

• 너비 우선 탐색
• 깊이 우선 탐색