양자장론에서, 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 장론(二次元${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	무게 ${\displaystyle h}$	SU(2) R대칭 표현	페르미온 수 ${\displaystyle F}$
${\displaystyle T(z)}$	에너지-운동량 텐서	2	1	0
${\displaystyle G^{a}(z)}$	초전류	3/2	${\displaystyle \mathbf {2} }$	+1
${\displaystyle {\bar {G}}^{\bar {a}}(z)}$	초전류	3/2	${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}}$	−1
${\displaystyle J^{i}(z)}$	R대칭 보존류	1	${\displaystyle \mathbf {3} ={\mathfrak {su}}(2)}$	0
${\displaystyle k}$	중심 원소	0	1	0

위 표에서 ${\displaystyle G^{a}}$를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, ${\displaystyle G^{a}}$의 에르미트 수반은 ${\displaystyle {\bar {G}}^{\bar {a}}}$이다.

중심 원소 ${\displaystyle k=0,1,2,3,\dots }$는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 ${\displaystyle c}$는 다음과 같다.

${\displaystyle c=6k=0,6,12,18,\dots }$

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 ${\displaystyle \cdots }$는 ${\displaystyle z\to 0}$에서 비특이항을 나타낸다.

${\displaystyle T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots }$

${\displaystyle T(z)G(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots }$

${\displaystyle T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots }$

${\displaystyle J^{i}(z)J^{j}(0)={\frac {1}{2}}kz^{-2}\delta ^{ij}+iz^{-1}\epsilon ^{ijk}J^{k}+\cdots }$

${\displaystyle J^{i}(z)G^{a}(0)=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}z^{-1}G^{b}(0)+\cdots }$

${\displaystyle G^{a}(z){\bar {G}}^{\bar {b}}(0)=4k\delta ^{ab}z^{-3}-4\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}z^{-2}J^{i}(0)+z^{-1}\left(2\delta ^{ab}T(z)-2\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}\partial J^{i}(0)\right)+\cdots }$

이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

${\displaystyle T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}}$

${\displaystyle G(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} +\eta }z^{r-3/2}G_{-r}}$

${\displaystyle J^{i}(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}^{i}}$

여기서 NS 경계 조건의 경우 ${\displaystyle \eta =0}$이며 R 경계 조건의 경우 ${\displaystyle \eta =1/2}$이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{2}}k(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{a}]=(m/2-r)G_{m+r}^{a}}$

${\displaystyle [L_{m},J_{n}^{i}]=-nJ_{m+n}^{i}}$

${\displaystyle [J_{m}^{i},J_{n}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{m+n}^{k}+{\frac {1}{2}}mk\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [J_{m}^{i},G_{r}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{m+r}^{b}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{a},G_{s}^{b}\}=0}$

${\displaystyle \{G_{r}^{a},{\bar {G}}_{s}^{\bar {b}}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{r+s}-2(r-s)\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{r+s}^{i}+{\frac {1}{2}}k(4r^{2}-1)\delta _{r+s,0}}$

NS 대수에서, ${\displaystyle L_{\pm 1}}$, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle G_{\pm 1/2}^{a}}$, ${\displaystyle {\bar {G}}_{\pm 1/2}^{\bar {a}}}$, ${\displaystyle J_{0}^{i}}$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.

${\displaystyle [L_{1},L_{-1}]=2L_{0}}$

${\displaystyle [L_{\pm 1},L_{0}]=\pm L_{0}}$

${\displaystyle [G_{\pm 12}^{a},L_{0}]=\pm {\frac {1}{2}}G_{\pm 12}^{a}}$

${\displaystyle [L_{1},G_{1/2}^{a}]=[L_{-1},G_{-1/2}^{a}]=0}$

${\displaystyle [L_{\pm 1},G_{\mp 1/2}^{a}]=\pm G_{\pm 1/2}^{a}}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}}$

${\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\pm 1/2}^{b}\}=\{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\mp 1/2}^{b}\}=0}$

${\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\pm 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{\pm 1}}$

${\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\mp 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}\mp \sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{0}^{i}}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},G_{\pm 1/2}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{\pm 1/2}^{b}}$

마찬가지로, R 대수에서, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle G_{0}^{a}}$, ${\displaystyle {\bar {G}}_{0}^{\bar {a}}}$, ${\displaystyle J_{0}^{i}}$, ${\displaystyle k}$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.

${\displaystyle [L_{0},L_{0}]=[G_{0}^{a},L_{0}]=[{\bar {G}}_{0}^{\bar {a}},L_{0}]=0}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}}$

${\displaystyle \{G_{0}^{a},G_{0}^{b}\}=0}$

${\displaystyle \{G_{0}^{a},{\bar {G}}_{0}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}-{\frac {1}{2}}k}$

${\displaystyle [J_{0}^{i},G_{0}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{0}^{b}}$

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 ${\displaystyle h}$ 및 SU(2) 아이소스핀 ${\displaystyle l=0,1/2,1,\dots }$에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(영어: massive representation)과 무질량 표현(영어: massless representation)으로 나뉜다.^[2]

	NS 경계 조건	R 경계 조건
무질량 표현	${\displaystyle h=k/4}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq k/2}$	${\displaystyle h=l}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq k/2}$
유질량 표현	${\displaystyle h>k/4}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq k/2-1/2}$	${\displaystyle h>l}$, ${\displaystyle 1/2\leq l\leq k/2}$

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.

${\displaystyle h\geq k/4\qquad ({\text{NS}})}$

${\displaystyle h\geq |l|\qquad ({\text{R}})}$

무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 장론에서는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$인 경우와 달리 ${\displaystyle (-1)^{F}\neq (-1)^{J_{0}}}$이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) ${\displaystyle q}$에 대한 퓨가시티 ${\displaystyle z}$와 페르미온 수 ${\displaystyle F}$에 대한 퓨가시티 ${\displaystyle y}$를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.^[2]

${\displaystyle Z(q,z,y)=\sum _{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^{q}y^{F}}$

이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)}$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle 4k}$ 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 ${\displaystyle k}$인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 ${\displaystyle k=1}$이다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.^[3]

• Sevrin, A.; Troost, W.; Van Proeyen, A. (1988년 7월 21일). “Superconformal algebras in two dimensions with ${\displaystyle N=4}$”. 《Physics Letters B》 (영어) 208 (3–4): 447–450. Bibcode:1988PhLB..208..447S. doi:10.1016/0370-2693(88)90645-4.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 48) (도움말)
• Schwimmer, Adam; Seiberg, Nathan (1987년 1월 29일). “Comments on the ${\displaystyle N=2,3,4}$ superconformal algebras in two dimensions”. 《Physics Letters B》 (영어) 184 (2–3): 191–196. Bibcode:1987PhLB..184..191S. doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말)
• Ooguri, Hirosi (1989년 10월 20일). “Superconformal symmetry and geometry of Ricci-flat Kähler manifolds” (PDF). 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 4 (17): 4303. Bibcode:1989IJMPA...4.4303O. doi:10.1142/S0217751X89001801. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론