Octonión

En matemáticas, os octonións son unha extensión non asociativa dos cuaternións. Forman unha álxebra de oito dimensións sobre o corpo ℝ dos números reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.

Ao perder a importante propiedade da asociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en álxebra e xeometría, especialmente entre os grupos de Lie.

Definición

Estrutura do espazo vectorial

O espazo 𝕆 de octonións é un espazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunha base denotada como $(1, i, j, k, l, il, jl, kl)$ (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).

Noutras palabras : cada octonion $x$ escríbese de forma única como unha combinación linear con coeficientes reais $x_{n}$ destes oito elementos:

x=x_{0}+x_{1}{\rm {i}}+x_{2}{\rm {j}}+x_{3}{\rm {k}}+x_{4}{\rm {l}}+x_{5}{\rm {il}}+x_{6}{\rm {jl}}+x_{7}{\rm {kl}}

e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.

Multiplicación

A multiplicación de octonións defínese entón como a única aplicación bilinear, e verifica

\forall a,b,c\in \mathbb {O} ,\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\qquad \left\{{\begin{matrix}(a+b)c=ac+bc\\a(b+c)=ab+ac\\(\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda (ab)\end{matrix}}\right.

e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola táboa de multiplicación que aparece a continuación:

	1	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
1	1	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$i$	$i$	–1	$k$	$-j$	$il$	$-l$	$-kl$	$jl$
$j$	$j$	$-k$	–1	$i$	$jl$	$kl$	$-l$	$-il$
$k$	$k$	$j$	$-i$	–1	$kl$	$-jl$	$il$	$-l$
$l$	$l$	$-il$	$-jl$	$-kl$	–1	$i$	$j$	$k$
$il$	$il$	$l$	$-kl$	$jl$	$-i$	–1	$-k$	$j$
$jl$	$jl$	$kl$	$l$	$-il$	$-j$	$k$	–1	$-i$
$kl$	$kl$	$-jl$	$il$	$l$	$-k$	$-j$	$i$	–1

Inmediatamente notamos que:

(casas brancas) 1 é neutro (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal);
(casas verdes) dous elementos distintos a e b, entre os 7 elementos da base distintos de 1, anticomutativo ( ab = –ba ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal).
O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á táboa de multiplicación de cuaternións. En particular: $ij = k, jk = i, ki = j$ .

A escolla inicial de $(1, i, j, k, l, il, jl, kl)$ como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para $i$ e $j$ tal que, configurando $k = ij$ e escollendo $l$ adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo $(1, i, j, k, l, li, lj, lk)$ : a táboa modifícase logo por cambios de signos.

Plano mnemotécnico de Fano

Unha forma mnemotécnica de lembrar os produtos dos octonións unitarios vén dada polo diagrama superior.

Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase plano de Fano (en realidade é o plano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementos Z/2Z). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.

Sexa $(a, b, c)$ unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:

$ab = c$ , $ba = -c$

con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:

$bc = a$ , $cb = -a$
$ca = b$ , $ac = -b$

As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :

$1$ é o elemento neutro para a multiplicación,
$e^{2}=-1$ para cada punto $e$ do diagrama define completamente a estrutura alxébrica de octonións.

Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 isomorfa aos cuaternións ℍ.

Conxugado

O conxugado dun octonión

x=x_{0}+x_{1}{\rm {i}}+x_{2}{\rm {j}}+x_{3}{\rm {k}}+x_{4}{\rm {l}}+x_{5}{\rm {il}}+x_{6}{\rm {jl}}+x_{7}{\rm {kl}}

está dado por

x^{*}=x_{0}-x_{1}{\rm {i}}-x_{2}{\rm {j}}-x_{3}{\rm {k}}-x_{4}{\rm {l}}-x_{5}{\rm {il}}-x_{6}{\rm {jl}}-x_{7}{\rm {kl}}.

A conxugación é unha involución de 𝕆 e satisfai

(xy)^{*}=(y^{*})(x^{*})

(nótese o cambio na orde de sucesión).

Partes reais e imaxinarias

A parte real do octonión $x$ defínese do seguinte xeito

${\rm {Re}}(x)={\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}$

e a súa parte imaxinaria

${\rm {Im}}(x)={\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}{\rm {i}}+x_{2}{\rm {j}}+x_{3}{\rm {k}}+x_{4}{\rm {l}}+x_{5}{\rm {il}}+x_{6}{\rm {jl}}+x_{7}{\rm {kl}}$

Norma

A norma dun octonión x defínese como a raíz cadrada dun número real positivo :

$\|x\|\ =\ {\sqrt {x\ \ x^{*}}}={\sqrt {x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}}$ .

Esta norma corresponde á norma euclidiana en $\mathbb {R} ^{8}$ .

\|x\|^{2}=[{\rm {Re}}(x)]^{2}-[{\rm {Im}}(x)]^{2}

.

Inversa

A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun inverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera x distinto de cero vén dado por:

x^{-1}\ =\ \|x\|^{-2}\ x^{*}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.

Propiedades

Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base $(1, i, j, k = ij)$ ) forman unha ℝ.álxebra xerada por $i$ e $j$ , os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base $(1, i, j, ij, l, il, jl, (ij)l)$ ) forma unha ℝ-álxebra xerada por $i$ , $j$ e $l$ .

A multiplicación de octonións non é

nin conmutativa: $ij = -ji$ ,
nin asociativa: $(ij)l = kl = -i(jl)$ .

Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a alternatividade, é dicir que dous elementos calquera $a$ e $b$ satisfán:

(ab)b=a(bb).

A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca. Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a norma sobre 𝕆 satisfai

\|xy\|\ =\ \|x\|\ \ \|y\|.

Isto implica que os octonións forman unha álxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os sedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñen divisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.

Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.

Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un grupo senón só un cuasigrupo.

Automorfismos

Un automorfismo da álxebra dos octonións é un automorfismo do espazo vectorial $A$ de 𝕆 que satisfai

A(xy)=A(x)A(y).

O grupo de automorfismos de 𝕆 é o grupo G₂. É un grupo de Lie real simplemente conexo e compacto, de dimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco grupos de Lie excepcionais.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Baez, John C. (2002). "The Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society 39 (2): 145–205. ISSN 0273-0979. MR 1886087. arXiv:math/0105155. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X.
Baez, John C. (2005). "Errata for The Octonions" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 42 (2): 213–214. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003). On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9. Zbl 1098.17001. .
Coxeter, H. S. M. (1946). Integral Cayley numbers. Duke Math. J. 13. pp. 561–578. MR 0019111. doi:10.1215/s0012-7094-46-01347-6.
Dixon, Geoffrey M. (1994). Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers and the Algebraic Design of Physics. Kluvwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2890-6.
Freudenthal, Hans (1985) [1951]. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie. Geom. Dedicata 19. pp. 7–63. MR 0797151. doi:10.1007/BF00233101.
Graves, John T. (1845). On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables. Phil. Mag. 26. pp. 315–320. doi:10.1080/14786444508645136.
Kirmse (1924). Über die Darstellbarkeit natürlicher ganzer Zahlen als Summen von acht Quadraten und über ein mit diesem Problem zusammenhängendes nichtkommutatives und nichtassoziatives Zahlensystem. Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math. Phys. Kl. 76. pp. 63–82.
Lahti, Usko (2015). Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskelijoiden seurassa. Helsinki: Books on Demand. ISBN 978-952-318-558-6.
Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhöfer, Theo; Hähl, Hermann; Löwen, Rainer; Stroppel, Markus (1995). Compact Projective Planes, With an Introduction to Octonion Geometry. De Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-011480-1. ISSN 0938-6572. OCLC 748698685.
van der Blij, F. (1961). History of the octaves. Simon Stevin 34. pp. 106–125. MR 0130283.

Outros artigos

Ligazóns externas

John Baez (2002). "The Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society. p. 145-205.
Images fractales octonioniques réalisées avec Gecif a partir dos octonións
Octavions, Dicionario de números, Gérard Villemin