Oktonion adalah sebuah barisan 8 bilangan riil dan merupakan salah satu dari 4 bilangan aljabar pembagian bernorma dengan bilangan riil, bersama dengan bilangan riil , bilangan kompleks dan kuaternion . Sifat-sifat aritmetis oktonion diterapkan dalam bidang-bidang seperti teori dawai , relativitas khusus dan logika kuantum .
Oktonion ditemukan oleh John Thomas Graves pada tahun 1843, karena inspirasi penemuan kuaternion oleh temannya William Rowan Hamilton .
Definisi
Setiap oktonion terdiri dari kombinasi linear riil unit oktonion :
{
1
,
i
,
j
,
k
,
l
,
i
l
,
j
l
,
k
l
}
{\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}\,}
dan suatu oktonion dituliskan dengan persamaan berikut:
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl\,}
dengan koefisien riil
{
x
i
}
{\displaystyle \{x_{i}\}}
Sama halnya dengan kuaternion, pertambahan dan pengurangan oktonion dilakukan dengan menambahi dan mengurangi setiap unit serupa. Sementara perkalian dilakukan dengan mengalikan setiap unit oktonion pertama dengan setiap unit oktonion kedua, dan lalu menjumlahi hasil perkalian. Berikut tabel perkalian unit-unit oktonion:
×
1
i j k l il jl kl
1 1
i
j
k
l
il
jl
kl
i i
−1
k
−j
il
−l
−kl
jl
j j
−k
−1
i
jl
kl
−l
−il
k k
j
−i
−1
kl
−jl
il
−l
l l
−il
−jl
−kl
−1
i
j
k
il il
l
−kl
jl
−i
−1
−k
j
jl jl
kl
l
−il
−j
k
−1
−i
kl kl
−jl
il
l
−k
−j
i
−1
Penjumlahan
x
+
y
=
(
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
)
+
(
y
0
+
y
1
i
+
y
2
j
+
y
3
k
+
y
4
l
+
y
5
i
l
+
y
6
j
l
+
y
7
k
l
)
=
(
x
0
+
y
0
)
+
(
x
1
+
y
1
)
i
+
(
x
2
+
y
2
)
j
+
(
x
3
+
y
3
)
k
+
(
x
4
+
y
4
)
l
+
(
x
5
+
y
5
)
i
l
+
(
x
6
+
y
6
)
j
l
+
(
x
7
+
y
7
)
k
l
{\displaystyle {\begin{aligned}&x+y\\&=(x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl)+(y_{0}+y_{1}i+y_{2}j+y_{3}k+y_{4}l+y_{5}il+y_{6}jl+y_{7}kl)\\&=(x_{0}+y_{0})+(x_{1}+y_{1})i+(x_{2}+y_{2})j+(x_{3}+y_{3})k+(x_{4}+y_{4})l+(x_{5}+y_{5})il+(x_{6}+y_{6})jl+(x_{7}+y_{7})kl\end{aligned}}}
Pengurangan
x
−
y
=
(
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
)
−
(
y
0
+
y
1
i
+
y
2
j
+
y
3
k
+
y
4
l
+
y
5
i
l
+
y
6
j
l
+
y
7
k
l
)
=
(
x
0
−
y
0
)
+
(
x
1
−
y
1
)
i
+
(
x
2
−
y
2
)
j
+
(
x
3
−
y
3
)
k
+
(
x
4
−
y
4
)
l
+
(
x
5
−
y
5
)
i
l
+
(
x
6
−
y
6
)
j
l
+
(
x
7
−
y
7
)
k
l
{\displaystyle {\begin{aligned}&x-y\\&=(x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl)-(y_{0}+y_{1}i+y_{2}j+y_{3}k+y_{4}l+y_{5}il+y_{6}jl+y_{7}kl)\\&=(x_{0}-y_{0})+(x_{1}-y_{1})i+(x_{2}-y_{2})j+(x_{3}-y_{3})k+(x_{4}-y_{4})l+(x_{5}-y_{5})il+(x_{6}-y_{6})jl+(x_{7}-y_{7})kl\end{aligned}}}
Perkalian
x
×
y
=
(
x
0
y
0
−
x
1
y
1
−
x
2
y
2
−
x
3
y
3
−
x
4
y
4
−
x
5
y
5
−
x
6
y
6
−
x
7
y
7
)
+
(
x
0
y
1
+
x
1
y
0
+
x
2
y
3
−
x
3
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
−
x
6
y
7
−
x
7
y
6
)
i
+
(
x
0
y
2
−
x
1
y
3
+
y
0
x
2
+
x
3
y
1
+
x
4
y
6
+
x
5
y
7
−
x
6
y
4
−
x
7
y
5
)
j
+
(
x
0
y
3
+
x
1
y
2
−
x
2
y
1
+
x
3
y
0
+
x
4
y
7
−
x
5
y
6
+
x
6
y
5
−
x
7
y
4
)
k
+
(
x
0
y
4
−
x
1
y
5
−
x
2
y
6
−
x
3
y
7
+
x
4
y
0
+
x
5
y
1
+
x
6
y
2
+
x
7
y
3
)
l
+
(
x
0
y
5
+
x
1
y
4
−
x
2
y
7
+
x
3
y
6
−
x
4
y
1
+
x
5
y
0
−
x
6
y
3
+
x
7
y
2
)
i
l
+
(
x
0
y
6
+
x
1
y
7
+
x
2
y
4
−
x
3
y
5
−
x
4
y
2
+
x
5
y
3
+
x
6
y
0
−
x
7
y
1
)
j
l
+
(
x
0
y
7
−
x
1
y
6
+
x
2
y
5
+
x
3
y
4
−
x
4
y
3
−
x
5
y
2
+
x
6
y
1
+
x
7
y
0
)
k
l
{\displaystyle {\begin{aligned}&x\times y=\\&(x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}-x_{5}y_{5}-x_{6}y_{6}-x_{7}y_{7})+\\&(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}-x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})i+\\&(x_{0}y_{2}-x_{1}y_{3}+y_{0}x_{2}+x_{3}y_{1}+x_{4}y_{6}+x_{5}y_{7}-x_{6}y_{4}-x_{7}y_{5})j+\\&(x_{0}y_{3}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{0}+x_{4}y_{7}-x_{5}y_{6}+x_{6}y_{5}-x_{7}y_{4})k+\\&(x_{0}y_{4}-x_{1}y_{5}-x_{2}y_{6}-x_{3}y_{7}+x_{4}y_{0}+x_{5}y_{1}+x_{6}y_{2}+x_{7}y_{3})l+\\&(x_{0}y_{5}+x_{1}y_{4}-x_{2}y_{7}+x_{3}y_{6}-x_{4}y_{1}+x_{5}y_{0}-x_{6}y_{3}+x_{7}y_{2})il+\\&(x_{0}y_{6}+x_{1}y_{7}+x_{2}y_{4}-x_{3}y_{5}-x_{4}y_{2}+x_{5}y_{3}+x_{6}y_{0}-x_{7}y_{1})jl+\\&(x_{0}y_{7}-x_{1}y_{6}+x_{2}y_{5}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{2}+x_{6}y_{1}+x_{7}y_{0})kl\end{aligned}}}
Umum Perpustakaan nasional Lain-lain
