Bilangan hiperkompleks

Dalam matematika, bilangan hiperkompleks adalah istilah tradisional untuk elemen dari satuan aljabar di atas bidang. Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori representasi grup modern.

Pada abad kesembilan belas sistem bilangan disebut kuaternion, tessarin, kokuaternion, bikuaternion, dan oktonion menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan bilangan kompleks. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika Benjamin Peirce pertama kali menerbitkan Aljabar asosiatif linear , dan dibawa oleh putranya Charles Sanders Peirce.^[1] Mengidentifikasi nilpoten dan elemen idempoten sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. Konstruksi Cayley–Dickson menggunakan involusi untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: Teorema Hurwitz menyatakan bahwa komposisi aljabar riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan Teorema Frobenius menyatakan bahwa satu-satunya aljabar pembagian asosiatif adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 J. Frank Adams menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang- H yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.^[2]

Aljabar matriks yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti matriks real 2 × 2. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka. Pada tahun 1907 Joseph Wedderburn menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks.^[3][4] Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi aljabar asosiatif seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di Universitas Edinburgh. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan kuaternion hiperbolik mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

Sebagai Hawkins^[5] menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori grup Lie dan representasi grup. Misalnya, pada tahun 1929 Emmy Noether menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi".^[6] Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.^[7][8]

Karen Parshall telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks,^[9] termasuk peran matematikawan termasuk Theodor Molien^[10] dan Eduard Study.^[11] Untuk transisi ke aljabar modern, Bartel van der Waerden menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam Sejarah Aljabar .^[12]

Definisi dari bilangan hiperkompleks oleh (Kantor & Solodovnikov 1989) sebagai elemen aljabar berdimensi hingga atas bilangan sebenarnya adalah unital tetapi tidak harus asosiatif atau komutatif. Elemen dihasilkan dengan koefisien bilangan riil ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ untuk dasar ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$. Jika memungkinkan, adalah konvensional untuk memilih basis tersebut ${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$. Pendekatan teknis untuk bilangan hypercomplex mengarahkan perhatian pertama ke dimensi dua.

Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1, u }. Karena aljabar tertutup di bawah kuadrat, elemen basis non-riil u persegi menjadi kombinasi linear 1 dan u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

untuk beberapa bilangan riil a₀ dan a₁. Menggunakan metode umum kuadrat kompleks dengan mengurangi a₁u dan menambahkan komplemen kuadrat a21 / 4 untuk kedua sisi hasil

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}$

Thus ${\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ dimana ${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}$ Ketiga kasus tersebut bergantung pada nilai riil:

• Bila 4a₀ = −a₁², hasil rumus di atas ũ² = 0. Oleh karena itu, ũ dapat langsung diidentifikasi dengan elemen nilpoten ${\displaystyle \epsilon }$ dari dasar ${\displaystyle \{1,~\epsilon \}}$ dari dua angka.
• Bila 4a₀ > −a₁², rumus di atas menghasilkan ũ² > 0. Hal ini mengarah pada bilangan kompleks terbagi yang memiliki basis yang dinormalisasi ${\displaystyle \{1,~j\}}$ dengan ${\displaystyle j^{2}=+1}$. Untuk mendapatkan j dari ũ , yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif ${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$ yang memiliki kotak yang sama dengan ũ .
• Bila 4a₀ < −a₁², rumus di atas menghasilkan ũ² < 0. Bilangan kompleks yang memiliki basis yang dinormalisasi ${\displaystyle \{1,~i\}}$ with ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Untuk menghasilkan i dari ũ , yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif ${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$ yang kuadratkan ke negatif ũ².

Bilangan kompleks adalah satu-satunya aljabar hiperkompleks 2 dimensi yang merupakan bidang. Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung idempoten ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$ dan pembagi nol ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$, jadi aljabar seperti itu tidak bisa aljabar pembagian s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan transformasi Lorentz dari relativitas khusus.

Dalam edisi 2004 Majalah Matematika, aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum".^[15] The idea of cross-ratio of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.^[16]

• Sedenions
• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Analisis hiperkompleks

Wikibooks Abstract Algebra memiliki halaman di:

Hypercomplex numbers

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hypercomplex number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com
• Hypercomplex.info
• Weisstein, Eric W. "Hypercomplex number". MathWorld. 
• Study, E., On systems of complex numbers and their application to the theory of transformation groups (PDF)  (English translation)
• Frobenius, G., Theory of hypercomplex quantities (PDF)  (English translation)