Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus

Dalam matematika, Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus, adalah masalah terkenal optimasi^[1] yang dilakukan oleh matematikawan asal Jerman abad ke-15, Johannes Müller^[2] (juga dikenal sebagai Regiomontanus). Masalahnya adalah sebagai berikut:

The two dots at eye level are possible locations of the viewer's eye.

Sebuah lukisan tergantung di dinding. Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut subtended dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?

Jika penonton berdiri terlalu dekat dengan dinding atau terlalu jauh dari dinding, sudutnya kecil; di suatu tempat di antara itu adalah sebesar mungkin.

Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby.^[3] Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.

Solusi dengan geometri dasar

Ada lingkaran unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata. Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan. Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..

Oleh Euclid's Element III.36 (alternatifnya teorema kekuatan-titik), jarak dari dinding ke titik singgung adalah rata-rata geometris dari ketinggian bagian atas dan bawah lukisan. Ini berarti, pada gilirannya, jika kita merefleksikan bagian bawah gambar pada garis setinggi mata dan menggambar lingkaran dengan ruas antara bagian atas gambar dan titik pantulan ini sebagai diameter, lingkaran memotong garis setinggi mata di posisi yang diperlukan (oleh Elemen II.14).

Solusi dengan kalkulus

Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks kalkulus tahun pertama (contohnya Stewart ^[4]).

Jika

a = ketinggian bagian bawah lukisan di atas ketinggian mata;

b = ketinggian bagian atas lukisan di atas ketinggian mata;

x = jarak pemirsa dari dinding;

α = sudut peninggian bagian bawah lukisan, dilihat dari posisi penonton;

β = sudut ketinggian bagian atas lukisan, dilihat dari posisi pemirsa.

Sudut yang ingin kami maksimalkan adalah β − α. tangen sudut bertambah seiring dengan bertambahnya sudut; oleh karena itu cukup dimaksimalkan

\tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.

setelah b − a adalah konstanta positif, kita hanya perlu memaksimalkan pecahan yang mengikutinya. Membedakan, kita mengerti

{d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}

Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai x pergi dari 0 sampai √ab dan menurun sebagai x meningkat dari √ab. Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya x = √ab, rata-rata geometris dari a and b.

Solusi dengan aljabar

Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan

{\frac {x}{x^{2}+ab}}.

Ini setara dengan meminimalkan timbal balik:

{\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.

Perhatikan bahwa kuantitas terakhir ini sama dengan

\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.

(Klik "tampilkan" di kanan untuk melihat rincian aljabar atau "sembunyikan" untuk menyembunyikannya.)

Ingat itu

(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.

Demikianlah saat kita punya u² + v², kita bisa menambahkan istilah tengah −2uv untuk mendapatkan persegi yang sempurna. Kita punya

x+{\frac {ab}{x}}.

Jika kita menganggap x as u² dan ab/x sebagai v², kemudian u = √x dan v = √ab/x, sehingga

2uv=2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}=2{\sqrt {ab\,{}}}.

Jadi kita punya

{\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=u^{2}+v^{2}=\underbrace {\left(u^{2}-2uv+v^{2}\right)} _{\text{pesergi yang sempurna}}+2uv\\&=(u-v)^{2}+2uv=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.\end{aligned}}

Ini sekecil mungkin tepatnya jika kuadratnya 0, dan itu terjadi jika x = √ab. Atau, kita dapat mengutip ini sebagai contoh dari pertidaksamaan antara aritmatika dan sarana geometri.

Catatan

^ Heinrich Dörrie,100 Masalah Besar Matematika Dasar: Sejarah Dan Solusinya, Dover, 1965, pp. 369–370
^ Eli Maor, Kesenangan Trigonometri, Princeton University Press, 2002, pages 46–48
^ Jones, Troy; Jackson, Steven (2001), "Rugbi dan Matematika: Hubungan Mengejutkan antara Geometri, Kerucut, dan Kalkulus" (PDF), Mathematics Teacher, 94 (8): 649–654 .
^ James Stewart, Kalkulus: Transendental Awal, Edisi Kelima, Brooks/Cole, 2003, page 340, exercise 58

[1] Heinrich Dörrie,100 Masalah Besar Matematika Dasar: Sejarah Dan Solusinya, Dover, 1965, pp. 369–370

[2] Eli Maor, Kesenangan Trigonometri, Princeton University Press, 2002, pages 46–48

[3] Jones, Troy; Jackson, Steven (2001), "Rugbi dan Matematika: Hubungan Mengejutkan antara Geometri, Kerucut, dan Kalkulus" (PDF), Mathematics Teacher, 94 (8): 649–654 .

[4] James Stewart, Kalkulus: Transendental Awal, Edisi Kelima, Brooks/Cole, 2003, page 340, exercise 58

[1]

[2]

[3]

[4]