Fungsi Lambert W

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Lambert W function di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam matematika, Fungsi Lambert W, juga disebut fungsi omega atau logaritma produk, adalah multinilai fungsi, yaitu cabang dari hubungan terbalik fungsi f(w) = we^w, dengan w adalah salah satu bilangan kompleks dan e^w adalah fungsi eksponensial.

Untuk setiap bilangan bulat k ada satu cabang, dilambangkan dengan W_k(z), yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. W₀ dikenal sebagai cabang utama. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika z dan w adalah bilangan kompleks, maka

${\displaystyle we^{w}=z}$

memegang jika dan hanya jika

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ untuk beberapa bilangan bulat }}k.}$

Saat berhadapan dengan bilangan real saja, kedua cabang tersebut W₀ dan W₋₁ cukup: untuk bilangan real x dan y persamaan

${\displaystyle ye^{y}=x}$

bisa diselesaikan untuk y hanya jika x ≥ −1e; kita mendapatkan y = W₀(x) jika x ≥ 0 dan dua nilai y = W₀(x) dan y = W₋₁(x) jika −1e ≤ x < 0.

Relasi Lambert W tidak bisa diekspresikan dalam istilah fungsi dasar.^[1] Ini berguna dalam kombinatorik, misalnya, dalam pencacahan pohon. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari Planck, Bose–Einstein, dan Distribusi Fermi-Dirac) dan juga terjadi dalam larutan penundaan diferensial, seperti y′(t) = a y(t − 1). Dalam biokimia, dan khususnya kinetika enzim, solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari kinetika Michaelis–Menten dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert W.

Fungsi Lambert W dinamai Johann Heinrich Lambert. Cabang utama W₀ dilambangkan dengan Wp di Perpustakaan Digital Fungsi Matematika, dan cabangnya W₋₁ dilambangkan dengan Wm di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan W₀ dan W₋₁) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert W oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan Knuth.^[2]

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena fungsi invers dari f(w) = e^w disebut logaritma, masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari produk we^w sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan Konstanta Omega, yang sama dengan W₀(1).

Lambert pertama kali mempertimbangkan Persamaan Transendental Lambert terkait pada 1758,^[3] yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783^[4] yang membahas kasus khusus we^w.

Fungsi yang dianggap Lambert adalah

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya a = b. Mengambil batasan dia menurunkan persamaan

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Dia kemudian meletakkan a = 1 dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan x dalam suku-suku c .

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan x dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert W memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.^[2][5]

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert W tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.^[6]

Ada banyak sekali cabang dari fungsi W, dilambangkan dengan W_k(z), untuk bilangan bulat k; W₀(z) menjadi cabang utama (atau kepala sekolah). W₀(z) didefinisikan untuk semua bilangan kompleks z sementara W_k(z) dengan k ≠ 0 didefinisikan untuk semua bukan nol z . Kita punya W₀(0) = 0 dan limz→0 W_k(z) = −∞ untuk semua k ≠ 0.

Titik cabang untuk cabang utama ada di z = −1e, dengan potongan cabang yang meluas ke −∞ sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang W₋₁ dan W₁. Di semua cabang W_k dengan k ≠ 0, ada titik bercabang di z = 0 dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi W_k(z), k ∈ Z semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai W adalah bidang kompleks. Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik w = −t cot t + it.

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana '${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ adalah benar. f=ze^z menyiratkan bahwa ada n seperti itu ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$, di mana n akan bergantung pada nilai z . Nilai bilangan bulat n akan berubah secara tiba-tiba saat ze^z berada di potongan cabang ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ yang berarti itu ze^z ≤ 0, kecuali untuk ${\displaystyle n=0}$ di mana tempatnya ze^z ≤ -1/e.

Menetapkan ${\displaystyle z=x+iy}$ di mana x dan y . Mengekspresikan e ^z dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))\\&=e^{x}(x\cos(y)-y\sin(y))+ie^{x}(x\sin(y)+y\cos(y))\\\end{aligned}}}$

Untuk ${\displaystyle n\neq 0}$, cabang dipotong untuk ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:

${\displaystyle x\sin(y)+y\cos(y)=0\Rightarrow x=-y/\tan(y)}$

dan

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq 0}$

Untuk ${\displaystyle n=0}$, cabang dipotong untuk ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ akan menjadi sumbu nyata dengan ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$ sehingga ketimpangan menjadi:

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq -1/e}$

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi W dapat dibalik: yaitu ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$.

Dengan diferensiasi implisit, seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari W memenuhi persamaan diferensial

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{untuk }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

(W bukan dapat dibedakan untuk z = −1e.) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari W:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{untuk }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Menggunakan identitas e^W(z) = zW(z), kami mendapatkan rumus setara berikut:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{untuk }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

Di asalnya kita punya

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Fungsi W(x), dan banyak ekspresi yang melibatkan W(x), bisa terintegrasi menggunakan substitusi w = W(x), yaitu x = we^w:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada x = 0). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa W₀(e) = 1) adalah identitas

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Deret Taylor dari W₀ sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

Radius konvergensi adalah 1e, seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval (−∞, −1e]; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert W.

Untuk nilai besar dari x, W₀ asimtotik dengan

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

dimana L₁ = ln x, L₂ = ln ln x, dan [l + ml + 1] adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif.^[2] Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).}$

Cabang real lainnya, W₋₁, didefinisikan dalam interval [−1e, 0),memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika x mendekati nol, dengan dalam kasus ini L₁ = ln(−x) dan L₂ = ln(−ln(−x)).^[2]

Itu menunjukkan^[7] yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk x ≥ e):

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan^[8] bahwa cabang W₋₁ bisa dibatasi sebagai berikut:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Bilangan bulat pangkat dari W₀ juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

Secara lebih umum, untuk r ∈ ℤ, Rumus inversi Lagrange diberikan

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent r. Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor W₀(x) / x:

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

yang berlaku untuk semua ${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$ dan ${\displaystyle \left|x\right|<{\frac {1}{e}}}$.

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Perhatikan itu, karena f(x) = xe^x tidak injeksi, tidak selalu begitu W(f(x)) = x, mirip dengan fungsi trigonometri terbalik. Untuk diperbaiki x < 0 dan x ≠ −1, persamaan xe^x = ye^y memiliki dua solusi di y, salah satunya tentu saja y = x. Kemudian, untuk i = 0 dan x < −1, serta untuk i = −1 dan x ∈ (−1, 0), y = W_i(xe^x) adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)\cdot e^{W(x)}=x,\quad {\text{karena itu:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{untuk }}x>0.}$^[10]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{dan}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{untuk }}x\geq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{dan}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{untuk }}x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{untuk }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{untuk }}n,x>0\end{aligned}}}$

(yang dapat diperpanjang ke n dan x lainnya jika cabang yang benar dipilih).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{untuk }}x,y>0.}$

Mengganti −ln x dalam definisi:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Dengan eksponensial iterasi Euler h(x):

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{untuk }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol x, W(x) adalah bilangan transendental. Memang, jika W(x) adalah nol, maka x harus nol juga, dan jika W(x) bukan nol dan aljabar, lalu menurut teorema Lindemann–Weierstrass, e^W(x) harus transendental, menyiratkan itu x = W(x)e^W(x) juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right).}$

${\displaystyle W\left(2\ln 2\right)=\ln 2.}$

${\displaystyle W(0)=0.}$

${\displaystyle W(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots }$ (konstanta Omega).

${\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1).}$

${\displaystyle W(e)=1.}$

${\displaystyle W\left(e^{1+e}\right)=e.}$

${\displaystyle W(-1)\approx -0.31813+1.33723i.}$

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:^[11]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{untuk }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Di domain yang lebih luas −1e ≤ x ≤ e, representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:^[12]

${\displaystyle W(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.}$

Representasi pecahan berlanjut berikut juga berlaku untuk cabang utama:^[13]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Juga, jika ${\displaystyle \left|W(z)\right|<1}$:^[14]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Gantinya, jika ${\displaystyle \left|W(z)\right|>e}$, maka

${\displaystyle W(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

• Plot fungsi Lambert W pada bidang kompleks
• 
  ${\displaystyle z=\operatorname {Re} (W_{0}(x+iy))}$
• 
  ${\displaystyle z=\operatorname {Im} (W_{0}(x+iy))}$
• 
  ${\displaystyle z=\left|W_{0}(x+iy)\right|}$
• 
  Superimposisi dari tiga plot sebelumnya

• Fungsi Wright Omega
• Persamaan trinomial Lambert
• Teorema inversi Lagrange
• Matematika eksperimental
• Metode Holstein–Herring
• R = T model
• Ross' π lemma

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 5: 329–359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2010-12-14. Diakses tanggal 2007-03-10.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 50 (9). doi:10.1109/TSP.2002.801912. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-03-28. Diakses tanggal 2004-03-10.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Francis; et al. (2000). "Quantitative General Theory for Periodic Breathing". Circulation. 102 (18): 2214–21. CiteSeerX 10.1.1.505.7194 . doi:10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID 11056095.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Hayes, B. (2005). "Why W?" (PDF). American Scientist. 93 (2): 104–108. doi:10.1511/2005.2.104. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2022-10-24. Diakses tanggal 2020-10-20. 
• Roy, R.; Olver, F. W. J. (2010), "Lambert W function", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 
• Stewart, Seán M. (2005). "A New Elementary Function for Our Curricula?" (PDF). Australian Senior Mathematics Journal. 19 (2): 8–26. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-02-03. Diakses tanggal 2020-10-20. Ringkasan. 
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010) Diarsipkan 2022-05-01 di Wayback Machine.; Veberic, D. (2012). "Lambert W function for applications in physics". Computer Physics Communications. 183 (12): 2622–2628. arXiv:1209.0735 . Bibcode:2012CoPhC.183.2622V. doi:10.1016/j.cpc.2012.07.008.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Chatzigeorgiou, I. (2013). "Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation". IEEE Communications Letters. 17 (8): 1505–1508. arXiv:1601.04895 . doi:10.1109/LCOMM.2013.070113.130972.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Lambert W function.

• National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert W Diarsipkan 2012-10-15 di Wayback Machine.
• MathWorld – Lambert W-Function Diarsipkan 2012-11-17 di Wayback Machine.
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research Diarsipkan 2012-04-08 di Wayback Machine.
• GPL C++ implementation Diarsipkan 2023-06-10 di Wayback Machine. with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions Diarsipkan 2019-05-20 di Wayback Machine. of the GNU Scientific Library Diarsipkan 2021-01-22 di Wayback Machine. – GSL