Dalam matematika, Teorema Midy, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy,^[1] adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan a/p di mana p adalah suatu bilangan prima dan a/p memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap (barisan A028416 pada OEIS). Jika periode dari representasi desimal a/p adalah 2n, sehingga

$${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}$$

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,

$${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$$ $${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$$

Sebagai contoh,

$${\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ dan }}076+923=999.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ dan }}05882352+94117647=99999999.}$$

Jika k adalah suatu pembagi dari h (di mana h adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal a/p (di mana p kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. Teorema Midy yang diperluas^[2] menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal a/p dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari k digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10^k – 1.

Sebagai contoh, $${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$$ memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan $${\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}$$ Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan $${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}$$

Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada basis b apa pun, asalkan kita mengganti 10^k – 1 dengan b^k – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis b.

Sebagai contoh, dalam oktal

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}$$

Dalam dozenal (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}*{12}[8pt]&076*{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}*{12}[8pt]&07*{12}+6{\mathcal {E}}*{12}+45*{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}$

Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari teori grup. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular:

Misalkan p bilangan prima dan a/p pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi a/p pada basis b memiliki periode ℓ, sehingga

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}$$

di mana N adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis b adalah string a₁a₂...a_ℓ.

Perhatikan bahwa b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p karena (b^ℓ – 1)a/p adalah bilangan bulat. Juga bⁿ – 1 bukan kelipatan p untuk nilai n yang lebih kecil dari ℓ, karena jika tidak periode berulang dari a/p akan kurang dari ℓ.

Sekarang misalkan ℓ = hk. Maka b^ℓ – 1 merupakan kelipatan dari b^k – 1. (Untuk melihat ini, gantikan x untuk b^k; maka b^ℓ = x^h dan x – 1 adalah faktor dari x^h – 1.) Misalkan b^ℓ – 1 = m(b^k – 1), sehingga

$${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$$

Tetapi b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p; b^k – 1 **bukan** kelipatan p (karena k kurang dari ℓ ); dan p prima; sehingga m harus merupakan kelipatan p dan

$${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$$

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

$${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$$

Sekarang bagi string a₁a₂...a_ℓ menjadi h bagian sama panjang k, dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat N₀...N_h–1 dalam basis b, sehingga

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}$$

Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis b, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari h bilangan N_i merupakan kelipatan dari b^k – 1.

Karena b^k kongruen dengan 1 modulo b^k – 1, maka setiap pangkat b^k juga kongruen dengan 1 modulo b^k – 1. Maka

$${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$$ $${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$$ $${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$$

yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis b.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana h = 2. Perhatikan bahwa N₀ dan N₁ keduanya direpresentasikan oleh string k digit pada basis b, sehingga keduanya memenuhi

$${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$$

N₀ dan N₁ tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak a/p = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan b^k – 1 (jika tidak a/p = 1), sehingga

$${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$$

dan karena N₀ + N₁ adalah kelipatan dari b^k – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

$${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$$

Dari hal di atas, $${\displaystyle {\frac {am}{p}}}$$ adalah bilangan bulat

Maka ${\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}$

Dan untuk ${\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}$

$${\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$$

Untuk ${\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}$ dan merupakan bilangan bulat

$${\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$$

dan seterusnya.

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem". MathWorld.