Aljabar Bose–Mesner

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala. Tag ini diberikan pada Februari 2023.

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Bose–Mesner algebra di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam matematika, aljabar Bose–Mesner merupakan himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif uniter. Kaidah tersebut berbunyi:

• Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
• ada matriks identitas dalam himpunan, dan
• darab matriksnya adalah komutatif.

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang fisika hingga model spin. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang statistika hingga desain eksperimen. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.^[1]

Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R₁, ..., R_n sehingga:

• diberikan ${\displaystyle x\in X}$, jumlah dari ${\displaystyle y\in X}$ sehingga ${\displaystyle \{x,y\}\in R_{i}}$ hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan v_i, dan
• diberikan ${\displaystyle x,y\in X}$ dengan ${\displaystyle \{x,y\}\in R_{k}}$, jumlah dari ${\displaystyle z\in X}$ sehingga ${\displaystyle \{x,z\}\in R_{i}}$ dan ${\displaystyle \{z,y\}\in R_{j}}$ hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan ${\displaystyle p_{in}^{k}}$.

Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R₀. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi.^[2] Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan D_i adalah matriks yang didefinisikan sebagai:

${\displaystyle (D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{jika }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{jika tidak.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

Lalu, misalkan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks ${\displaystyle \sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}}$ dengan kompleks ${\displaystyle a_{i}}$.^[3][4] Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa ${\displaystyle D_{i}}$ adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

1. ${\displaystyle D_{i}}$ adalah simetris,
2. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}D_{i}=J}$ (semuanya adalah matriks satuan),
3. ${\displaystyle D_{0}=I,}$
4. ${\displaystyle D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.}$

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom ${\displaystyle D_{i}}$ mengandung 1 di ${\displaystyle v_{i}}$:

${\displaystyle D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)}$

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa. ${\displaystyle D_{0},\ldots ,D_{n}}$ adalah bebas linear, dan dimensi ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ adalah ${\displaystyle n+1}$. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks ${\displaystyle S}$ sehingga untuk setiap ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, terdapat matriks diagonal ${\displaystyle \Lambda _{A}}$ dengan ${\displaystyle S^{-1}AS=\Lambda _{A}}$. Hal ini mengartkan bahwa ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif ${\displaystyle J_{0},\ldots ,J_{n}}$. Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.

${\displaystyle J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)}$

${\displaystyle J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)}$

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten ${\displaystyle D_{i}}$, dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan ${\displaystyle E_{k}}$. Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

${\displaystyle D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)E_{k},\qquad (6)}$

dan

${\displaystyle |X|E_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)}$

Bilangan-p ${\displaystyle p_{i}(k)}$ dan bilangan-q ${\displaystyle q_{k}(i)}$ memainkan peran penting dalam teori.^[3] Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan ${\displaystyle D_{i}}$.

Nilai eigen dari ${\displaystyle p_{i}(k)}$ dan ${\displaystyle q_{k}(i)}$, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)}$

Dan juga,

${\displaystyle \mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)}$

Dalam notasi matriks,

${\displaystyle P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)}$

dan

${\displaystyle Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)}$

dengan ${\displaystyle \Delta _{v}=\operatorname {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ dan ${\displaystyle \Delta _{\mu }=\operatorname {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}.}$

Nilai eigen dari ${\displaystyle D_{i}D_{\ell }}$ adalah ${\displaystyle p_{i}(k)p_{\ell }(k)}$ dengan perkalian ${\displaystyle \mu _{k}}$. Hal ini menyiratkan bahwa

${\displaystyle vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {trace} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)}$

yang membuktikan Persamaan ${\displaystyle \left(8\right)}$ dan Persamaan ${\displaystyle \left(11\right)}$,

${\displaystyle Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)}$

yang memberikan Persamaan ${\displaystyle (9)}$, ${\displaystyle (10)}$ dan ${\displaystyle (12)}$.${\displaystyle \Box }$

Ada analogi antara perluasan skema asosiasi dan perluasan dari Medan berhingga. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ dari satu himpunan ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ dimana skema asosiasi ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$ dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ disebut kuasa Kronecker ke-${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$ pada ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ dengan mengumpulkan kelas ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$. Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial ${\displaystyle F\left[X\right]}$ yang pertama kali didefinisikan pada medan ${\displaystyle \mathbb {F} }$, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.^[3][4][5]

• Skema asosiasi

Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (September 2010) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

• Bailey, Rosemary A. (2004), Association schemes: Designed experiments, algebra and combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 84, Cambridge University Press, hlm. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, MR 2047311 
• Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Algebraic combinatorics I: Association schemes, Menlo Park, CA: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., hlm. xxiv+425, ISBN 0-8053-0490-8, MR 0882540 
• Bannai, Etsuko (2001), "Bose–Mesner algebras associated with four-weight spin models", Graphs and Combinatorics, 17 (4): 589–598, doi:10.1007/PL00007251  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Bose, R. C.; Mesner, D. M. (1959), "On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (1): 21–38, doi:10.1214/aoms/1177706356 , JSTOR 2237117, MR 0102157 
• Cameron, P. J.; van Lint, J. H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6 
• Camion, P. (1998), "Codes and association schemes: Basic properties of association schemes relevant to coding", dalam Pless, V. S.; Huffman, W. C., Handbook of coding theory, The Netherlands: Elsevier 
• Delsarte, P.; Levenshtein, V. I. (1998), "Association schemes and coding theory", IEEE Transactions on Information Theory, 44 (6): 2477–2504, doi:10.1109/18.720545 
• MacWilliams, F. J.; Sloane, N. J. A. (1978), The theory of error-correcting codes, New York: Elsevier 
• Nomura, K. (1997), "An algebra associated with a spin model", Journal of Algebraic Combinatorics, 6 (1): 53–58, doi:10.1023/A:1008644201287