Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam teori grup, subhimpunan dari suatu grup ${\displaystyle G}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle G}$ jika anggota dari subhimpunan tersebut membentuk suatu grup terhadap operasi yang sama di grup ${\displaystyle G}$

Diberikan suatu grup ${\displaystyle G}$ di bawah operasi biner ${\displaystyle *}$. Maka suatu himpunan bagian ${\displaystyle H}$ dari ${\displaystyle G}$ disebut subgrup dari ${\displaystyle G}$ jika ${\displaystyle H}$ juga membentuk grup di bawah operasi ${\displaystyle *}$. Lebih tepatnya, ${\displaystyle H}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle G}$ jika restriksi dari ${\displaystyle *}$ ke ${\displaystyle H\times H}$ adalah operasi grup di ${\displaystyle H}$. Biasanya ini dilambangkan ${\displaystyle H\leq G}$, dibaca sebagai "${\displaystyle H}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle G}$".

Subgrup trivial dari setiap grup adalah subgrup yang hanya mengandung elemen identitas ${\displaystyle \{e\}}$.^[1]

Misalkan ${\displaystyle G}$ adalah grup, dan ${\displaystyle H}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle G}$. Untuk saat ini, asumsi bahwa operasi grup ${\displaystyle G}$ ditulis dalam notasi bentuk perkalian, yakni jukstaposisi.

• Maka ${\displaystyle H}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle G}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah perkalian dan invers. Maksud dari "tertutup di bawah perkalian" disini adalah untuk setiap elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle H}$, hasil kali ${\displaystyle ab}$ ada di ${\displaystyle H}$. "Tertutup di bawah invers" berarti untuk setiap elemen ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle H}$, inversnya ${\displaystyle a^{-1}}$ ada di ${\displaystyle H}$. Dengan menggabungkan dua persyaratan tersebut, maka untuk setiap elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle H}$, elemen ${\displaystyle ab^{-1}}$ berada di ${\displaystyle H}$. Alangkah lebih mudahnya untuk menguji masing-masing kedua persyaratan ketertutupan tersebut.^[2]
• Ketika ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tertinggi, pengujiannya dapat disederhanakan sebagai berikut: ${\displaystyle H}$ adalah subgrup jika dan hanya jika ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah operasi perkalian. Persyaratan tersebut sendiri menyiratkan bahwa untuk setiap elemen ${\displaystyle a}$ dari ${\displaystyle H}$ menghasilkan subgrup siklik terhingga dari ${\displaystyle H}$, katakanlah orde ${\displaystyle n}$, dan kemudian invers dari ${\displaystyle a}$ adalah ${\displaystyle a^{n-1}}$.^[2]

Jika operasi grup dilambangkan sebagai operasi penambahan, maka "ketertutupan di bawah hasil kali" baiknya digantikkan dengan "ketertutupan di bawah penambahan", yang mensyaratkan bahwa untuk setiap elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle H}$, penjumlahan ${\displaystyle a+b}$ berada di dalam ${\displaystyle H}$, dan "tertutup di bawah invers" digantikan dengan menyatakan, untuk setiap ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle H}$, inversnya ${\displaystyle -a}$ ada di ${\displaystyle H}$.

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a₁ ~ a₂ jika dan hanya jika a₁⁻¹a₂ ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

di mana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.^[3][4]

Maka G jadikan grup siklik ke Z₈ maka hasil elemen

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, di mana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z₂. These small subgroups are not counted in the following list.

All 30 subgroups Simplified Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4

• Subgrup Cartan
• Subgrup pas
• Subgrup stabil
• Subgrup titik tetap
• Tes subgrup

1. ^ Gallian 2013, hlm. 61.
2. ^ ^{a b} Kurzweil & Stellmacher 1998, hlm. 4.
3. ^ Melihat sebuah didactic proof in this video.
4. ^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (Edisi 3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

• • Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (Edisi 8th). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
  • Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3.