Teorema Lagrange

Dalam teori grup, teorema Lagrange mengatakan bahwa untuk suatu grup hingga ${\displaystyle G}$ berorde ${\displaystyle n}$, orde dari setiap subgrup ${\displaystyle H\leq G}$ haruslah membagi ${\displaystyle n}$. Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Prancis, Joseph-Louis de Lagrange.

Untuk membuktikan teorema Lagrange, dapat digunakan koset dari suatu subgrup. Akan ditunjukkan bahwa setiap koset suatu subgrup berukuran sama, sehingga haruslah setiap koset dari suatu subgrup ${\displaystyle H}$ memiliki anggota sebanyak orde dari ${\displaystyle H}$. Hal ini dapat dilakukan dengan membangun suatu bijeksi ${\displaystyle f:aH\to bH}$ untuk sebarang ${\displaystyle a,b\in G}$ dengan ${\displaystyle f(x)=ba^{-1}x}$. Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan bijeksi dengan invers ${\displaystyle f^{-1}(x)=ab^{-1}x}$. Akibatnya, kita dapatkan setiap koset dari subgrup ${\displaystyle H}$ berukuran sama. Berikutnya, karena koset-koset dari ${\displaystyle H}$ mempartisi grup ${\displaystyle G}$ atas akibat dari relasi ekuivalensi ${\displaystyle a\sim b\iff aH=bH}$, kita dapatkan banyaknya anggota dari ${\displaystyle G}$ sama dengan banyaknya koset dari ${\displaystyle H}$ dikali banyaknya anggota dari ${\displaystyle H}$ (karena semua koset berukuran sama). Akibatnya, kita dapatkan ${\displaystyle |G|=[G:H]|H|}$ sehingga orde tiap subgrup haruslah membagi orde grupnya. Dengan demikian kita selesai.

Secara umum, konvers dari teorema Lagrange tidak berlaku. Yakni, jika ${\displaystyle n}$ membagi orde dari ${\displaystyle G}$, belum tentu terdapat suatu subgrup dari ${\displaystyle G}$ yang berorde ${\displaystyle n}$. Sebagai contoh, grup berayun (yakni grup dari permutasi genap) ${\displaystyle A_{4}}$ yang berorde 12 tidak memiliki subgrup berorde 6.