Teorema Heine–Borel

Dalam analisis real, teorema Heine–Borel menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan asli ${\displaystyle n}$, suatu himpunan bagian ${\displaystyle H}$ dari ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ adalah himpunan kompak jika dan hanya jika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan tertutup dan terbatas. Teorema ini dinamai dari Eduard Heine and Émile Borel.

Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep kontinu seragam dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. Peter Gustav Lejeune Dirichlet adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya.^[1] Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904.^[1] Eduard Heine, Karl Weierstrass, dan Salvatore Pincherle kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, Émile Borel adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk peliput terhitung. Pierre Cousin (1895), Henri Léon Lebesgue (1898), dan Arthur Moritz Schoenflies (1900) memperumumnya untuk sembarang peliput.^[2]

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Diketahui ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ adalah himpunan kompak. Dengan kata lain, setiap peliput buka dari ${\displaystyle H}$ memiliki subliput berhingga. Misalkan ${\displaystyle B_{r}(a)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid d(x,\,a)<r\right\}}$ menyatakan bola berjari-jari ${\displaystyle r}$ yang berpusat pada titik ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle H}$ bersifat terbatas. Perhatikan bahwa ${\displaystyle B_{1}(a)}$ merupakan himpunan terbuka pada ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dan $${\displaystyle H\subset \bigcup _{a\,\in \,H}B_{1}(a)}$$ Akibatnya, ${\displaystyle \bigcup _{a\,\in \,H}B_{1}(a)}$ adalah peliput buka dari ${\displaystyle H}$. Oleh karena ${\displaystyle H}$ adalah himpunan kompak, maka terdapat suatu titik ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{k}\in H}$ sedemikian sehingga $${\displaystyle H\subset \bigcup _{i\,=\,1}^{k}B_{1}(a_{i})=B_{1}(a_{1})\cup B_{1}(a_{2})\cup B_{1}(a_{3})\cup \ldots \cup B_{1}(a_{k})}$$ Misalkan ${\displaystyle M=\max _{i\,\neq \,j}\left\{d(a_{i},\,a_{j})\right\}}$ dengan ${\displaystyle i,\,j\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,k\right\}}$. Diambil sembarang titik ${\displaystyle x,\,y\in H}$. Jika ${\displaystyle P_{x}}$ menyatakan titik pusat dari bola yang memuat titik ${\displaystyle x}$, maka menurut pertidaksamaan segitiga : $${\displaystyle d(x,\,y)\leq d(x,\,P_{x})+d(P_{x},\,P_{y})+d(P_{y},\,y)\leq 1+M+1}$$ Akibatnya, diameter dari ${\displaystyle H}$ terbatas oleh ${\displaystyle M+2}$

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle H}$ bersifat tertutup melalui kontradiksi. Andaikan ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan kompak, namun bukan merupakan himpunan tertutup, maka terdapat suatu titik limit ${\displaystyle a\not \in H}$. Didefinisikan $${\displaystyle C(r)=\left\{x\in H\mid d(x,\,a)>r\right\}}$$ dengan ${\displaystyle r>0}$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle C(r)}$ merupakan himpunan terbuka pada ${\displaystyle H}$, untuk sembarang ${\displaystyle r>0}$, dan $${\displaystyle \bigcup _{r\,>\,0}C(r)=H}$$ Akibatnya, ${\displaystyle \bigcup _{r\,>\,0}C(r)}$ merupakan peliput buka dari himpunan ${\displaystyle H}$. Sekarang perhatikan sembarang subliput hingga dari peliput tersebut, yaitu $${\displaystyle \bigcup _{k\,=\,1}^{n}C(r_{k})=C(r_{1})\cup C(r_{2})\cup C(r_{3})\cup \ldots \cup C(r_{n})}$$ Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa ${\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\leq r_{3}\leq \ldots \leq r_{n}}$. Berdasarkan definisi dari ${\displaystyle C(r)}$, maka himpunan di atas dapat ditulis sebagai $${\displaystyle \bigcup _{k\,=\,1}^{n}C(r_{k})=\left\{x\in H\mid d(x,\,a)>r_{n}\geq r_{n-1}\geq \ldots \geq r_{2}\geq r_{1}\right\}=C(r_{1})}$$ Perhatikan bahwa

• di satu sisi, himpunan ${\displaystyle \bigcup _{k\,=\,1}^{n}C(r_{k})}$ bersifat saling lepas dengan suatu persekitaran dari titik ${\displaystyle a}$, yaitu ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)}$, dengan ${\displaystyle \varepsilon ={\dfrac {1}{3}}\cdot \min \left\{r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,\ldots ,\,r_{n}\right\}}$. Dengan kata lain, $${\displaystyle \left(\bigcup _{k\,=\,1}^{n}C(r_{k})\right)\cap \left(B_{\varepsilon }(a)\right)=\emptyset }$$
• di sisi lain, irisan dari himpunan ${\displaystyle \bigcup _{k\,=\,1}^{n}C(r_{k})}$ dan himpunan ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)}$ tidaklah kosong, sebab diketahui di awal bahwa titik ${\displaystyle a}$ merupakan titik limit.

Hal ini jelas mustahil terjadi, sebab suatu himpunan tidak mungkin kosong sekaligus tidak kosong. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan ${\displaystyle H}$ bukan merupakan himpunan tertutup) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan tertutup apabila ${\displaystyle H}$ adalah himpunan kompak.

Dengan argumentasi serupa, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian kompak ${\displaystyle S}$ dari suatu ruang topologis Hausdorff ${\displaystyle X}$ bersifat tertutup pada ${\displaystyle X}$.

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dan sembarang bilangan riil ${\displaystyle k>0}$. Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan himpunan kompak melalui kontradiksi.

Andaikan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka $${\displaystyle C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i}}$$ dari ${\displaystyle K}$ yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan ${\displaystyle K}$ kemudian dipartisi menjadi ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan ${\displaystyle K}$. Jika semua ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K}$ masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$, maka himpunan ${\displaystyle K}$ juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$ (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$. Misalkan subhimpunan ini dinamai ${\displaystyle K_{1}}$.

Dengan proses serupa, himpunan ${\displaystyle K_{1}}$ kemudian dipartisi menjadi ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan ${\displaystyle K_{1}}$. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari ${\displaystyle 2^{n}}$ subhimpunan dari himpunan ${\displaystyle K_{1}}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari ${\displaystyle C}$. Misalkan subhimpunan ini dinamai ${\displaystyle K_{2}}$. Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan $${\displaystyle K\supset K_{1}\supset K_{2}\supset \ldots \supset K_{p}\supset \ldots }$$ Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ ialah ${\displaystyle (2k)\cdot 2^{-p}}$, yang akan menuju 0 saat nilai ${\displaystyle p}$ menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan ${\displaystyle \langle x_{m}\rangle }$ dengan sifat ${\displaystyle x_{m}\in K_{m}}$, untuk setiap ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$. Barisan ini adalah barisan Cauchy, sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit ${\displaystyle L}$. Oleh karena ${\displaystyle x_{m}\in K_{p}}$ untuk setiap ${\displaystyle m\geq p}$ dan setiap himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ merupakan himpunan tertutup, maka diperoleh ${\displaystyle L\in K_{p}}$ untuk setiap ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$.

Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku ${\displaystyle K\subseteq C}$. Oleh karena ${\displaystyle L\in K_{p}}$, maka diperoleh ${\displaystyle L\in C}$. Dengan kata lain, himpunan ${\displaystyle C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i}}$ meliput titik ${\displaystyle L}$. Akibatnya, terdapat suatu ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ sedemikian sehingga ${\displaystyle L\in \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Oleh karena ${\displaystyle \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$ adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle B_{\varepsilon }(L)\subseteq \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Jika dipilih ${\displaystyle p>\,^{2}\!\log \left({\dfrac {2k}{\varepsilon }}\right)}$, maka ${\displaystyle (2k)\cdot 2^{-p}<\varepsilon }$. Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle K_{p}\subset B_{\varepsilon }(L)\subset \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}\subset C}$$ Berdasarkan hasil di atas, himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu ${\displaystyle \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}}$. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan ${\displaystyle K_{p}}$ tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari ${\displaystyle C}$. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan ${\displaystyle K}$ bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan himpunan kompak.

Diketahui bahwa himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tertutup dan terbatas. Oleh karena himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu ${\displaystyle k>0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle H\subseteq \left[-k,\,k\right]^{n}}$. Misalkan ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$ adalah suatu peliput buka dari himpunan ${\displaystyle H}$. Oleh karena himpunan ${\displaystyle H}$ adalah himpunan tertutup, maka ${\displaystyle H^{\complement }}$ adalah himpunan tertutup, dan himpunan $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}={\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$$ adalah peliput buka dari himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$, sebab untuk sembarang elemen ${\displaystyle x\in K}$

1. Jika ${\displaystyle x\in H}$, maka ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}}$, sehingga diperoleh ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$ (sebab ${\displaystyle H\subseteq {\mathcal {C}}_{H}\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$)
2. Jika ${\displaystyle x\not \in H}$, maka ${\displaystyle x\in H^{\complement }}$, sehingga diperoleh ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }}$ (sebab ${\displaystyle H^{\complement }\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{c}}$)

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan ${\displaystyle K=\left[-k,\,k\right]^{n}}$ merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}}$ memiliki suatu subliput hingga ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K}}$ yang sekaligus meliput himpunan ${\displaystyle H}$. $${\displaystyle H\subseteq K\subseteq {\mathcal {S}}_{K}\subset {\mathcal {C}}_{K}}$$ Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan ${\displaystyle H^{\complement }}$ bukanlah anggota dari himpunan ${\displaystyle H}$. Akibatnya, himpunan ${\displaystyle H}$ dapat diliput oleh $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{H}={\mathcal {S}}_{K}\setminus H^{\complement }}$$ yang merupakan subliput hingga dari ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$. Oleh karena ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H}}$ adalah sembarang peliput buka dari himpunan ${\displaystyle H}$, maka terbukti bahwa himpunan ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan kompak.

Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada ruang vektor topologis dan ruang metrik secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini. Ruang-ruang ini disebut memiliki sifat Heine-Borel.

Suatu ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d)}$ dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas^[3] pada ${\displaystyle X}$ adalah himpunan kompak.

Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik bilangan rasional (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika garis bilangan real tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.

Suatu ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d)}$ memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan ${\displaystyle d}$) jika dan hanya jika ruang tersebut lengkap, kompak ${\displaystyle \sigma }$, dan kompak lokal.^[4]

Suatu ruang vektor topologis ${\displaystyle X}$ dikatakan memiliki sifat Heine-Borel ^[5] jika setiap himpunan tertutup dan terbatas^[6] pada ${\displaystyle X}$ adalah himpunan kompak^[7] (R. E. Edwards menggunakan istilah ruang kompak terbatas^[8]). Tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), namun beberapa ruang Fréchet memilikinya. Misalnya, ruang ${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {D}})}$ dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$^[8] dan ruang ${\displaystyle H({\mathcal {D}})}$ dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {C} ^{n}}$.^[8]

• Teorema Bolzano–Weierstrass

• P. Dugac (1989). "Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue". Arch. Int. Hist. Sci. 39: 69–110. 
• BookOfProofs: Sifat Heine-Borel
• Jeffreys, H.; Jeffreys, B.S. (1988). Methods of Mathematical Physics [Metode Fisika Matematis] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239. 
• Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Construction metrics with the Heine-Borel property" [Metrik konstruksi dengan sifat Heine-Borel]. Proc. AMS (dalam bahasa Inggris). 100 (3): 567–573. doi:10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X . 
• Kirillov, A.A.; Gvishiani, A.D. (1982). Theorems and Problems in Functional Analysis [Teorema dan Masalah dalam Analisis Fungsional] (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6. 
• Edwards, R.E. (1965). Functional analysis [Analisis Fungsional] (dalam bahasa Inggris). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030505356. 

• (Inggris)Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). The Heine–Borel Theorem. Hannover: Leibniz Universität. Diarsipkan dari versi asli (avi • mp4 • mov • swf • streamed video) tanggal 2011-07-19.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Borel-Lebesgue covering theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris)Mathworld "Teorema Heine-Borel"
• (Inggris)"Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"