Teorema Cantor

Dalam teori himpunan, teorema Cantor merupakan hasil fundamental yang menyatakan bahwa, untuk setiap himpunan ${\displaystyle X}$, himpunan seluruh himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$ (yang dikenal sebagai himpunan kuasa dari ${\displaystyle X}$, dan ditulis sebagai ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(X\right)}$) memiliki kardinalitas yang lebih dari ${\displaystyle X}$ itu sendiri. Secara simbolis, jika notasi ${\displaystyle \left|X\right|}$ menyatakan kardinalitas dari himpunan ${\displaystyle X}$, maka teorema Cantor menyatakan bahwa $${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\!\left(X\right)\right|>\left|X\right|}$$

Jika himpunannya berhingga, teorema Cantor dapat dipandang sebagai kebenaran melalui enumerasi sederhana dari banyaknya himpunan bagian. Apabila himpunan kosong dihitung sebagai himpunan bagian, maka suatu himpunan dengan ${\displaystyle n}$ elemen memiliki ${\displaystyle 2^{n}}$ himpunan bagian, dan teoremanya bernilai benar sebab ${\displaystyle 2^{n}>n}$ untuk setiap bilangan cacah ${\displaystyle n}$.

Hal yang lebih signifikan ialah penemuan Cantor akan argumentasi yang dapat diterapkan pada sembarang himpunan, dan menunjukkan bahwa teoremanya juga berlaku untuk himpunan takhingga. Akibatnya, kardinalitas dari bilangan riil, yang sama dengan kardinalitas himpunan kuasa dari bilangan bulat, lebih dari kardinalitas bilngan bulat; lihat kardinalitas dari kontinum untuk pembahasan lebih lanjut.

Teorema ini dinamai untuk Georg Cantor, orang pertama yang menyatakan sekaligus membuktikan teorema ini pada akhir abad ke-19. Teorema Cantor memiliki akibat yang penting untuk filsafat matematika. Misalnya, dengan mengambil himpunan kuasa dari suatu himpunan tak terhingga secara berulang dan menerapkan teorema Cantor, maka diperoleh kardinal tak terhingga yang hierarkinya tiada habisnya. Akibatnya, teorema ini menyiratkan bahwa tidak ada bilangan kardinal terbesar (dalam bahasa sehari-hari, "tidak ada takhingga terbesar").

Bagian ini akan menggunakan kasus spesifik ketika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan terhitung tak terhingga. Tanpa mengurangi keumuman, akan digunakan himpunan ${\displaystyle H=\mathbb {N} =\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots \right\}}$, yaitu himpunan semua bilangan asli.

Misalkan himpunan ${\displaystyle \mathbb {N} }$ sama banyaknya dengan himpunan kuasanya, ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$. Himpunan ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$ memuat tak terhingga banyaknya himpunan bagian dari ${\displaystyle \mathbb {N} }$, seperti himpunan bilangan genap positif ${\displaystyle \left\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \right\}=\left\{2n\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ dan himpunan kosong ${\displaystyle \varnothing }$. Beberapa himpunan yang termuat pada ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$ antara lain: $${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)=\left\{\varnothing ,\,\left\{1,\,2\right\},\,\left\{1,\,2,\,3\right\},\,\left\{4\right\},\,\left\{1,\,5\right\},\,\left\{3,\,4,\,6\right\},\,\left\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \right\},\,\ldots \right\}}$$

Oleh karena ${\displaystyle \mathbb {N} }$ diasumsikan sama banyaknya dengan ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$, maka setiap elemen dari ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dapat melabeli setiap elemen dari ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$, dengan syarat tidak ada elemen dari kedua himpunan yang tidak terlabeli. Salah satu cara pelabelannya adalah sebagai berikut: $${\displaystyle \mathbb {N} \,{\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\left\{4,\,5\right\}\\2&\longleftrightarrow &\left\{1,\,2,\,3\right\}\\3&\longleftrightarrow &\left\{4,\,5,\,6\right\}\\4&\longleftrightarrow &\left\{1,\,3,\,5\right\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}\,{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$$ Diberikan suatu proses pelabelan, beberapa bilangan asli melabelkan himpunan bagian yang memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan ${\displaystyle 2}$ melabelkan himpunan ${\displaystyle \left\{1,\,2,\,3\right\}}$, yang memuat ${\displaystyle 2}$ sebagai anggotanya. Misalkan bilangan-bilangan tersebut disebut egois. Beberapa bilangan asli lainnya melabelkan himpunan bagian yang tidak memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan ${\displaystyle 1}$ melabelkan himpunan ${\displaystyle \left\{4,\,5\right\}}$, yang tidak memuat ${\displaystyle 1}$ sebagai anggotanya.

Dengan menggunakan ide ini, maka dapat dikonstruksikan suatu himpunan bilangan asli yang istimewa. Himpunan ini akan memberikan kontradiksi yang sedang diincar. Misalkan ${\displaystyle {\cancel {E}}}$ adalah himpunan semua bilangan yang tidak egois. Berdasarkan definisi, himpunan kuasa ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$ memuat semua himpunan bilangan asli, yang mengakibatkan ${\displaystyle {\cancel {E}}\in {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$. Jika pemetaannya bersifat bijektif, maka ${\displaystyle {\cancel {E}}}$ harus dilabelkan dengan suatu bilangan asli, misalnya ${\displaystyle e}$. Akan tetapi, hal ini menimbulkan masalah.

1. Jika ${\displaystyle e\in {\cancel {E}}}$, maka ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan egois, dan hal ini bertentangan dengan definisi dari ${\displaystyle {\cancel {E}}}$.
2. Jika ${\displaystyle e\not \in {\cancel {E}}}$, maka ${\displaystyle e}$ adalah bilangan yang tidak egois, sehingga ${\displaystyle e}$ seharusnya menjadi anggota dari ${\displaystyle {\cancel {E}}}$.

Akibatnya, tidak mungkin ada elemen ${\displaystyle e}$ yang dipetakan ke ${\displaystyle {\cancel {E}}}$.

Oleh karena tidak ada bilangan asli yang melabelkan himpunan ${\displaystyle {\cancel {E}}}$, maka pengandaian di awal bernilai salah, yaitu terdapat bijeksi antara ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dan ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$.

Perhatikan bahwa himpunan ${\displaystyle {\cancel {E}}}$ mungkin saja kosong. Hal ini mengakibatkan setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$ dipetakan ke himpunan bagian yang memuat ${\displaystyle n}$. Dengan kata lain, setiap bilangan asli melabelkan suatu himpunan tak kosong dan tidak ada bilangan yang melabelkan himpunan kosong. Akan tetapi, ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$, sehingga pemetaannya tetap tidak meliput ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$.

Berdasarkan pembuktian melalui kontradiksi ini, terbukti bahwa ${\displaystyle \left|\mathbb {N} \right|\neq \left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right|}$. Selain itu, ${\displaystyle \left|\mathbb {N} \right|>\left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right|}$ juga tidaklah mungkin, sebab berdasarkan definisi, ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$ memuat semua singleton, dan singleton-singleton ini membentuk "salinan" dari ${\displaystyle \mathbb {N} }$ di dalam ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$. Akibatnya, hanya tersisa satu kemungkinan, yaitu $${\displaystyle \left|\mathbb {N} \right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right|}$$

Argumen Cantor terbilang elegan dan sangat sederhana. Bukti lengkapnya disajikan dibawah, beserta penjelasan rinci setelahnya.

Misalkan ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah sembarang himpunan. Berdasarkan definisi dari kardinalitas, maka ${\displaystyle \left|X\right|<\left|Y\right|}$ jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi injektif namun tidak bijektif dari ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle Y}$. Hal ini dapat diraih dengan menunjukkan bahwa tidak ada pemetaan surjektif dari ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle Y}$. Inilah inti dari teorema Cantor: tidak ada fungsi surjektif dari sembarang himpunan ${\displaystyle H}$ ke himpunan kuasanya. Untuk membuktikan ini, maka cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada fungsi ${\displaystyle f}$ (yang memetakan elemen pada ${\displaystyle H}$ ke himpunan bagian dari ${\displaystyle H}$) yang dapat meraih setiap himpunan bagian yang ada. Dengan kata lain, maka cukup ditunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan bagian dari ${\displaystyle H}$ yang tidak sama dengan ${\displaystyle f\!\left(x\right)}$, untuk setiap ${\displaystyle x\in H}$. Ingat kembali bahwa setiap ${\displaystyle f\!\left(x\right)}$ merupakan himpunan bagian dari ${\displaystyle H}$. Himpunan bagian dengan sifat tersebut diberikan melalui konstruksi berikut: $${\displaystyle {\cancel {H}}=\left\{x\in H\mid x\not \in f\!\left(x\right)\right\}}$$ Himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$ terkadang dikenal sebagai himpunan diagonal Cantor dari ${\displaystyle f}$. Berdasarkan definisi dari himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$, maka untuk setiap ${\displaystyle x\in H}$, ${\displaystyle x\in {\cancel {H}}}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x\not \in f\!\left(x\right)}$. Akan dikaji dua kasus berikut:

1. Jika ${\displaystyle x\in f\!\left(x\right)}$, maka ${\displaystyle x\not \in {\cancel {H}}}$, sehingga ${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}}}$.
2. Jika ${\displaystyle x\not \in f\!\left(x\right)}$, maka ${\displaystyle x\in {\cancel {H}}}$, sehingga ${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}}}$.

Berdasarkan kedua kasus di atas, himpunan ${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}}}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in H}$ sebab himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$ dikonstruksikan dari elemen pada ${\displaystyle H}$ yang bayangan oleh fungsi ${\displaystyle f}$ tidak memuat dirinya sendiri. Dengan kata lain, terbukti bahwa terdapat suatu elemen ${\displaystyle c\in H}$ sedemikian sehingga persyaratan ${\displaystyle f\!\left(c\right)=B}$ mengakibatkan kontradiksi berikut: $${\displaystyle {\begin{aligned}c\in {\cancel {H}}&\iff c\not \in f\!\left(c\right)&&{\text{(berdasarkan definisi dari }}{\cancel {H}}{\text{)}}\\c\in {\cancel {H}}&\iff c\in f\!\left(c\right)&&{\text{(berdasarkan asumsi bahwa }}f\!\left(x\right)={\cancel {H}}{\text{)}}\\\end{aligned}}}$$ sehingga berdasarkan reductio ad absurdum, asumsi di awal bernilai salah.^[1] Akibatnya, tidak ada ${\displaystyle c\in H}$ yang memenuhi ${\displaystyle f\!\left(c\right)={\cancel {H}}}$. Dengan kata lain, himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$ bukanlah bayangan dari ${\displaystyle f}$ dan fungsi ${\displaystyle f}$ tidak memetakan setiap elemen ke himpunan kuasa dari ${\displaystyle H}$, yang berarti, ${\displaystyle f}$ tidak bersifat surjektif.

Terakhir, untuk melengkapi pembuktiannya, perlu ditunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi injektif dari ${\displaystyle H}$ ke himpunan kuasanya. Proses mencari fungsi tersebut tidaklah sulit: petakan elemen ${\displaystyle x}$ ke himpunan singleton ${\displaystyle \left\{x\right\}}$. Sekarang pembuktiannya sudah lengkap, dan berlaku ketaksamaan tegas ${\displaystyle \left|H\right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(H\right)\right|}$ untuk setiap himpunan ${\displaystyle H}$.

Oleh karena elemen ${\displaystyle x}$ muncul dua kali pada ekspresi "${\displaystyle x\in f\!\left(x\right)}$", maka argumen ini disebut sebagai argument diagonal. Untuk himpunan terhitung (atau berhingga), argumentasi dari pembuktian di atas dapat diilustrasikan dengan membuat tabel yang

1. setiap barisnya dilabeli oleh suatu elemen ${\displaystyle x}$ dari himpunan ${\displaystyle H=\left\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\ldots \right\}}$ secara berurutan. Himpunan ${\displaystyle H}$ diasumsikan terurut linear sehingga tabelnya dapat dikonstruksikan.
2. setiap kolomnya dilabelkan oleh suatu elemen ${\displaystyle y}$ dari himpunan ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(H\right)}$. Kolomnya diurutkan berdasarkan argumen dari ${\displaystyle f}$. Dengan kata lain, kolomnya dilabeli sebagai ${\displaystyle f\!\left(x_{1}\right)\!,\,f\!\left(x_{2}\right)\!,\,f\!\left(x_{3}\right)\!,\,\ldots }$ dengan urutan ini.
3. perpotongan dari setiap baris ${\displaystyle x}$ dan kolom ${\displaystyle y}$ berisi nilai benar/salah dari pernyataan ${\displaystyle x\in y}$. Dengan kata lain, setiap baris berisi nilai fungsi indikator dari himpunan pada masing-masing kolom.

Diberikan suatu urutan yang dipilih untuk label baris dan kolom, diagonal utama ${\displaystyle D}$ dari tabel ini berisi nilai kebenaran dari pernyataan ${\displaystyle x\in f\!\left(x\right)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in H}$. Salah satu tabelnya dapat dilihat sebagai berikut: $${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}&f(x_{1})&f(x_{2})&f(x_{3})&f(x_{4})&\cdots \\\hline x_{1}&{\color {red}B}&B&S&B&\cdots \\x_{2}&B&{\color {red}S}&S&S&\cdots \\x_{3}&S&S&{\color {red}B}&B&\cdots \\x_{4}&S&B&B&{\color {red}B}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}}$$ Himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$ pada paragraf sebelumnya dikonstruksikan berdasarkan negasi dari nilai kebenaran pada diagonal utama ${\displaystyle D}$ (yang pada contoh di atas, diwarnai dengan merah), yaitu menukar "benar" dan "salah".^[1] Akibatnya, fungsi indikator dari himpunan ${\displaystyle {\cancel {H}}}$ akan berbeda dengan setiap kolom pada setidaknya satu entri, sehingga tidak ada kolom yang mewakili ${\displaystyle {\cancel {H}}}$.

• Teorema Schröder–Bernstein
• Artikel teori himpunan pertama Cantor
• Kontroversi atas teori Cantor

• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Dicetak ulang oleh Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edisi Springer-Verlag). Dicetak ulang oleh Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edisi Paperback).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (edisi ke-3rd millennium), Springer, ISBN 3-540-44085-2 

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cantor theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cantor's Theorem". MathWorld.