Tanpa mengurangi keumuman

Tanpa mengurangi keumuman (bahasa Inggris: Without loss of generality, seringkali disingkat WLOG atau WOLOG)^[1] adalah kalimat yang cukup sering digunakan dalam matematika. Istilah tersebut digunakan untuk menyatakan bahwa asumsi yang digunakan telah dipilih secara sembarang (sehingga premisnya menjadi sebuah kasus khusus yang lebih mudah diselesaikan), namun hal tersebut tidak mengubah validitas pembuktiannya secara keseluruhan. Jika terdapat kasus lain, maka pengerjaannya kurang lebih dapat ditangani dengan cara serupa seperti apa yang telah dipaparkan sebelumnya.^[2] Akibatnya, setelah suatu kasus terbukti kebenarannya, maka sangat mudah untuk mengadaptasinya untuk membuktikan kesimpulan di semua kasus lainnya.

Dalam banyak kasus, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" dimungkinkan akibat adanya suatu simetri.^[3] Sebagai contoh, diketahui $x$ dan $y$ adalah suatu bilangan riil yang memenuhi suatu sifat $P(x,\,y)$ (misalnya, $P(x,\,y)$ adalah proposisi $\max(x,\,y)-\min(x,\,y)=\left|x-y\right|$ ). Jika $P(x,\,y)$ bersifat simetris (atau dengan kata lain, $P(x,\,y)$ ekuivalen dengan $P(y,\,x)$ ), maka untuk membuktikan sifat $P(x,\,y)$ yang akan berlaku untuk setiap bilangan riil $x$ dan $y$ , dapat diasumsikan bahwa $x\leq y$ . Asumsi ini dapat dilakukan, sebab jika kasus $x\leq y$ telah terbukti, kasus lainnya dapat diselesaikan dengan menukar label $x$ dan $y$ . Oleh karena $P(x,\,y)$ bersifat simetris, maka terbukti bahwa sifat $P(x,\,y)$ berlaku untuk setiap kasus.

Di sisi lain, jika tidak terdapat sifat simetri (atau bentuk ekuivalen lainnya), maka penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" tidak dibenarkan dan dapat mengarah kepada pembuktian menggunakan contoh – suatu kesesatan logika dalam membuktikan sebuah klaim dengan membuktikan suatu contoh yang tidak representatif.^[4]

Contoh

Perhatikan teorema berikut (yang merupakan contoh penerapan prinsip rumah burung) :

Teorema — Jika terdapat tiga objek dan masing-masing dicat dengan warna merah atau biru saja, maka setidaknya terdapat dua objek dengan warna yang sama.

dengan bukti sebagai berikut:

Asumsikan, tanpa mengurangi keumuman, bahwa objek pertama dicat merah. Jika salah satu dari dua objek lainnya dicat merah, maka pernyataannya terbukti; jika tidak, maka dua objek lainnya haruslah berwarna biru, sehingga pernyataannya tetap terbukti.

Argumen di atas termasuk valid, sebab alasan yang sama persis dapat diterapkan jika digunakan asumsi alternatif (yaitu, objek pertama dicat biru), atau bisa juga penggunaan kata "merah" dan "biru" ditukar dalam kalimat pembuktiannya. Sehingga, penggunaan "tanpa mengurangi keumuman" termasuk valid dalam kasus ini.

Lihat juga

Up to (belum tahu terjemahannya)
Glosarium Matematika

Referensi

^ "Without Loss of Generality". Art of Problem Solving. Diakses tanggal 2019-10-21.
^ Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics [Bukti Matematis / Transisi Menuju Matematika Lanjut] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). Pearson/Addison Wesley. hlm. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
^ Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)". Dalam Broy, Manfred; Schieder, Birgit. Mathematical Methods in Program Development (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences (dalam bahasa Inggris). 158. Springer. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.
^ "An Acyclic Inequality in Three Variables" [Ketaksamaan Tak Siklik dengan Tiga Variabel]. www.cut-the-knot.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-10-21.

Pranala luar

(Inggris) WLOG di PlanetMath.
(Inggris) "Without Loss of Generality" (tanpa mengurangi keumuman) karya John Harrison - Diskusi mengenai proses memformalkan argumen yang menggunakan "tanpa mengurangi keumuman" pada automated theorem prover (pembukti teorema otomatis).

[1] "Without Loss of Generality". Art of Problem Solving. Diakses tanggal 2019-10-21.

[2] Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics [Bukti Matematis / Transisi Menuju Matematika Lanjut] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). Pearson/Addison Wesley. hlm. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.

[3] Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)". Dalam Broy, Manfred; Schieder, Birgit. Mathematical Methods in Program Development (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences (dalam bahasa Inggris). 158. Springer. hlm. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.

[4] "An Acyclic Inequality in Three Variables" [Ketaksamaan Tak Siklik dengan Tiga Variabel]. www.cut-the-knot.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-10-21.

[1]

[2]

[3]

[4]