Skalar (matematika)

Dalam matematika, skalar adalah elemen dari suatu lapangan yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah ruang vektor. Suatu besaran yang didefinisikan dengan beberapa skalar, seperti memiliki arah dan besar, disebut dengan vektor.^[1]

Dalam aljabar linear, bilangan real (atau secara umum elemen dari sebuah lapangan) disebut dengan skalar. Skalar ini berhubungan dengan suatu ruang vektor lewat operasi perkalian skalar, yang terdefinisi di ruang vektor tersebut. Operasi tersebut memungkinkan sebuah vektor dikalikan dengan sebuah skalar, untuk menghasilkan vektor lainnya.^[2][3][4] Ruang vektor tidak harus menggunakan bilangan real untuk mendefinisikannya; sebarang lapangan lain, misal bilangan kompleks, juga dapat digunakan. Dalam kasus ini, skalar dari ruang vektor tersebut adalah elemen dari lapangan tersebut (seperti bilangan kompleks). Operasi hasil kali titik (scalar product) -- yang berbeda dengan perkalian skalar -- dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor. Operasi ini memungkinkan dua vektor dikalikan dengan cara tertentu, untuk menghasilkan sebuah skalar. Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali titik disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Istilah skalar terkadang juga digunakan secara informal untuk merujuk pada sebuah vektor, matriks, tensor, dan "gabungan nilai-nilai" lainnya, yang sebenarnya hanya berisi satu komponen. Sebagai contoh, perkalian dari matriks berukuran 1 × n dengan matriks berukuran n × 1 adalah matriks berukuran 1 × 1, hasil perkalian ini terkadang disebut sebagai sebuah skalar.

Istilah skalar juga digunakan dalam beberapa bidang lainnya. Matriks skalar digunakan untuk menyebut sebuah matriks berbentuk ${\displaystyle k\mathbf {I} }$, dengan ${\displaystyle k}$ sebuah skalar dan ${\displaystyle \mathbf {I} }$ adalah matriks identitas. Komponen real dari sebuah kuarternion juga dirujuk dengan bagian skalar-nya.

Sebuah ruang vektor didefinisikan sebagai sebuah himpunan vektor (grup abelian aditif, additive abelian group), sebuah himpunan skalar (lapangan), dan sebuah operasi perkalian skalar yang mengalikan skalar ${\displaystyle k}$ dan vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ untuk menghasilkan vektor baru ${\displaystyle k\mathbf {v} }$. Sebagai contoh, dalam ruang koordinat, perkalian skalar ${\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ menghasilkan vektor ${\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}$. Pada ruang fungsi (linear), perkalian skalar ${\displaystyle kf}$ adalah sebuah fungsi ${\displaystyle x\mapsto k(f(x))}$.

Skalar dapat dipilih dari sebarang lapangan, termasuk bilangan aljabar, rasional, real, dan kompleks, maupun lapangan hingga.

Menurut teorema fundamental aljabar linear, setiap ruang vektor memiliki sebuah basis. Hal ini mengakibatkan setiap ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle K}$ akan isomorfik ke suatu ruang vektor koordinat, dengan semua koordinatnya berupa elemen dari ${\displaystyle K}$. Sebagai contoh, setiap ruang vektor real berdimensi ${\displaystyle n}$ isomorfik dengan ruang real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Alternatif lain, sebuah ruang vektor ${\displaystyle V}$ juga dapat dilengkapi dengan suatu fungsi norma yang memetakan setiap vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ di ${\displaystyle V}$ dengan skalar ${\displaystyle ||\mathbf {v} ||}$. Dari definisi, perkalian ${\displaystyle \mathbf {v} }$ dengan skalar ${\displaystyle k}$ akan ikut mengalikan normanya dengan ${\displaystyle |k|}$. Jika ${\displaystyle ||\mathbf {v} ||}$ diintepretasikan sebagai jarak dari ${\displaystyle \mathbf {v} }$, maka operasi ini dapat dianggap sebagai penskalaan panjang ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sebesar ${\displaystyle k}$. Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah norma disebut dengan ruang vektor bernorma.

Jika syarat agar sebuah himpunan skalar dapat membentuk lapangan dilonggarkan, sehingga hanya perlu membentuk sebuah gelanggang, struktur aljabar yang terbentuk adalah sebuah modul. Pada gelanggang, konsep pembagian skalar tidak perlu definisikan, dan skalar tidak perlu komutatif.

Dalam kasus ini istilah "skalar" dapat berupa objek yang rumit.

Perkalian skalar dari pada ruang vektor dan modul adalah kasus khusus dari penskalaan, salah satu bentuk transformasi linear.

• Aljabar linear
• Skalar (fisika)
• Struktur aljabar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4