Simetri dihedral dalam tiga dimensi

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

Dalam geometri, simetri dihedral dalam tiga dimensi adalah salah satu dari tiga barisan tak hingga dari grup titik dalam tiga dimensi yang memiliki grup simetri sebagai grup abstrak adalah grup dihedral Dih_n (untuk n ≥ 2).

Ada 3 jenis simetri dihedral dalam tiga dimensi, masing-masing ditunjukkan di bawah ini dalam 3 notasi: notasi Schönflies, notasi Coxeter, dan notasi orbifold.

Kiral

• D_n, [n,2]⁺, (22n) urutan 2n – simetri dihedral atau grup para-n-gonal (grup abstrak: Dih_n).

Akiral

• D_nh, [n,2], (*22n) urutan 4n – simetri prismatik atau grup orto-n-gonal penuh (grup abstrak: Dih_n × Z₂).
• D_nd (atau D_nv), [2n,2⁺], (2*n) urutan 4n – simetri antiprismatik atau grup giro-n-gonal penuh (grup abstrak: Dih_2n).

Untuk n yang diberikan, ketiganya memiliki lipatan-n simetri rotasi sekitar satu sumbu (rotasi dengan sudut 360°/n tidak mengubah objek), dan simetri rotasi lipatan-2 tentang sumbu tegak lurus, dari sekitar n . Untuk n = ∞, sesuai dengan tiga grup dekorasi. Notasi Schönflies digunakan dengan notasi Coxeter dalam tanda kurung, dan notasi orbifold dalam tanda kurung. Istilah horizontal (h) digunakan dengan sumbu rotasi vertikal.

Dalam 2D, grup simetri D_n mencakup refleksi dalam garis. Ketika bidang 2D tertanam secara horizontal dalam ruang 3D, refleksi tersebut dapat dilihat sebagai pembatas pada bidang refleksi melalui bidang vertikal, atau sebagai pembatas pada bidang rotasi terhadap garis pantul, sebesar 180°. Dalam 3D, dua operasi dibedakan: grup D_n berisi rotasi, bukan refleksi. Grup lainnya adalah simetri piramida C_nv dengan urutan 2n.

Dengan simetri refleksi pada bidang tegak lurus terhadap sumbu rotasi lipatan-n, maka menghasilkan D_nh, [n], (*22n).

D_nd (atau D_nv), [2n,2⁺], (2*n) memiliki bidang cermin vertikal di antara sumbu rotasi horizontal, bukan melaluinya. Hasilnya, sumbu vertikal adalah sumbu lipatan-2n refleksi rotor.

D_nh adalah grup simetri untuk sisi-n beraturan prisma dan juga untuk sisi-n beraturan bipiramid. D_nd adalah grup simetri untuk sisi-n beraturan antiprisma, dan juga untuk sisi-n beraturan trapezohedron. D_n adalah grup simetri dari prisma rotasi sebagian.

n = 1 tidak disertakan karena ketiga simetri sama dengan yang lain:

• D₁ dan C₂: grup urutan 2 dengan rotasi 180° tunggal.
• D_1h dan C_2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis pada bidang tersebut.
• D_1d dan C_2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis tegak lurus bidang tersebut.

Untuk n = 2 tidak ada satu sumbu utama dan dua sumbu tambahan, tetapi ada tiga sumbu yang setara.

• D₂, [2,2]⁺, (222) of order 4 is one of the three symmetry group types with the Klein four-group as abstract group. It has three perpendicular 2-fold rotation axes. It is the symmetry group of a cuboid with an S written on two opposite faces, in the same orientation.
• D_2h, [2,2], (*222) urutan 8 adalah grup simetri balok.
• D_2d, [4,2⁺], (2*2) urutan 8 adalah grup simetri dari mis .:
  • Sebuah kubus persegi dengan diagonal yang digambar pada satu sisi persegi, dan diagonal tegak lurus pada sisi lainnya.
  • Sebuah tetrahedron biasa diskalakan ke arah garis yang menghubungkan titik tengah dari dua tepi yang berlawanan (D_2d adalah subgrup dari T_d; dengan penskalaan, dengan mengurangi simetri).

D2h, [2,2], (*222)

D4h, [4,2], (*224)

Untuk D_nh, [n,2], (*22n), urutan 4n

• C_nh, [n⁺,2], (n*), urutan 2n
• C_nv, [n,1], (*nn), urutan 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), urutan 2n

Untuk D_nd, [2n,2⁺], (2*n), urutan 4n

• S_2n, [2n⁺,2⁺], (n×), urutan 2n
• C_nv, [n⁺,2], (n*), urutan 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), urutan 2n

D_nd is also subgroup of D_2nh.

D2h, [2,2], (*222) Urutan 8	D2d, [4,2+], (2*2) Urutan 8	D3h, [3,2], (*223) Urutan 12
bola basket jalur jahitan	Bola basket jalur jahitan (tanpa arah jahitan)	Bola pantai (tanpa warna)

D_nh, [n], (*22n):

prisma

D_5h, [5], (*225):

Prisma pentagram

Antiprisma pentagram

D_4d, [8,2⁺], (2*4):

Antiprisma persegi penghinaan

D_5d, [10,2⁺], (2*5):

Pentagonal antiprism

Antiprisma silang pentagram

trapesium segilima

D_17d, [34,2⁺], (2*17):

antiprisma heptadecagonal

• Daftar grup simetri bola
• Grup titik dalam tiga dimensi
• Simetri siklik dalam tiga dimensi

• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), "The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups", Structural Chemistry, Springer Netherlands, 13 (3): 247–257, doi:10.1023/A:1015851621002 

• Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – dalam bentuk bagian pertama (selain melewatkan n=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D terpisah