Persamaan Born–Landé

Persamaan Born–Landé adalah cara menghitung energi kisi kristal senyawa ionik. Pada tahun 1918^[1] Max Born dan Alfred Landé mengusulkan bahwa energi kisi dapat diturunkan dari potensial elektrostatik dari kisi ionik dan istilah energi potensial repulsif.^[2]

${\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

dengan:

• N_A = konstanta Avogadro;
• M = konstanta Madelung, terkait dengan geometri kristal;
• z⁺ = jumlah muatan kation
• z⁻ = jumlah muatan anion
• e = muatan elementer, 1,6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = permitivitas ruang hampa

  4πε₀ = 1,112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

• r₀ = jarak ke ion terdekat
• n = eksponen Born, biasanya bilangan antara 5 dan 12, yang ditentukan secara eksperimen dengan menentukan kompresibilitas padatan, atau diturunkan secara teoritis.^[3]

Kisi ion dimodelkan sebagai rakitan bola elastis keras yang dikompresi bersama-sama oleh saling tarik muatan elektrostatik pada ion. Mereka mencapai jarak kesetimbangan teramati yang terpisah karena penyeimbangan tolakan jarak pendek.

Energi potensial elektrostatik, E_pasangan, antara pasangan ion yang sama tetapi berlawanan muatan adalah:

${\displaystyle E_{\text{pasangan}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

dengan

z = besar muatan salah satu ion

e = muatan elementer, 1,6022×10⁻¹⁹ C

ε₀ = permitivitas ruang hampa

4πε₀ = 1,112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

r = jarak yang memisahkan pusat ion

Untuk kisi sederhana yang terdiri dari ion dengan muatan yang sama tetapi berlawanan dalam rasio 1:1, interaksi antara satu ion dan semua ion kisi lainnya perlu dijumlahkan untuk menghitung E_M, kadang-kadang disebut energi Madelung atau energi kisi:

${\displaystyle E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

dengan

M = konstanta Madelung, yang berhubungan dengan geometri kristal

r = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan

Born dan Landé menyarankan bahwa interaksi tolakan antara ion kisi akan berbanding lurus dengan 1rⁿ sehingga istilah energi repulsif, E_R, akan dinyatakan:

${\displaystyle E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}}$

dengan

B = skala konstan kekuatan interaksi repulsif

r = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan

n = eksponen Born, angka antara 5 dan 12 yang menyatakan ketajaman halangan repulsif

Energi potensial intensif total suatu ion dalam kisi dapat dinyatakan sebagai jumlah dari potensial Madelung dan potensial repulsif:

${\displaystyle E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}}$

Meminimalkan energi ini sehubungan dengan r menghasilkan pemisahan kesetimbangan r₀ dalam hal konstanta yang tidak diketahui B:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}}$

Dengan mengevaluasi energi potensial intensif minimum dan menggantikan ekspresi untuk B dalam hal r₀ menghasilkan persamaan Born–Landé:

${\displaystyle E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

Persamaan Born–Landé menghasilkan ide energi kisi suatu sistem.^[2]

Senyawa	Terhitung	Eksperimen
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl2	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

Eksponen Born biasanya antara 5 dan 12. Nilai pendekatan eksperimen sebagai berikut:^[4]

Konfigurasi ion	He	Ne	Ar, Cu+	Kr, Ag+	Xe, Au+
n	5	7	9	10	12

• Persamaan Kapustinskii
• Persamaan Born–Mayer