Monomorfisme

Dalam konteks aljabar abstrak atau aljabar universal, monomorfisme adalah injeksi homomorfisme. Sebuah monomorfisme dari X dengan Y sering dilambangkan dengan notasi X ↪ Y.

Dalam pengaturan yang lebih umum dari teori kategori, monomorfisme (juga disebut morfisme monik atau mono) adalah pembatal-kiri morphism. Artinya, anak panah f : X → Y seperti itu untuk semua objek Z dan semua morfisme g₁, g₂: Z → X,

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

Monomorfisme adalah generalisasi kategorikal dari fungsi injeksi s (juga disebut "fungsi satu-ke-satu"); dalam beberapa kategori, pengertian tersebut bertepatan, tetapi monomorfisme lebih umum, seperti pada contoh di bawah.

Dual kategorikal dari monomorfisme adalah epimorfisme, yaitu, monomorfisme dalam kategori C adalah epimorfisme dalam kategori ganda C^op. Setiap bagian adalah monomorfisme, dan setiap retraksi adalah epimorfisme.

Morfisme pembalik kiri harus monik: jika l adalah kebalikan kiri untuk f (artinya l adalah morfisme dan ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$), maka f adalah monik, maka

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Morfisme yang dapat dibalikkan kiri disebut 'split mono' atau bagian.

Namun, monomorfisme tidak perlu dibalik. Misalnya, dalam kategori Grup dari semua grup dan homomorfisme grup di antara mereka, jika H adalah subgrup dari G lalu penyertaan f : H → G selalu monomorfisme; tetapi f memiliki invers kiri dalam kategori jika dan hanya jika H memiliki komplemen normal di G .

Morfisme f : X → Y monic jika dan hanya jika peta induksi f_∗ : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), mendefinisikan oleh f_∗(h) = f ∘ h untuk semua morfisme h : Z → X, adalah injeksi untuk semua objek Z .

Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasari adalah monomorfisme; dengan kata lain, jika morfisme benar-benar berfungsi di antara himpunan, maka morfisme apa pun yang merupakan fungsi satu-ke-satu akan menjadi monomorfisme dalam arti kategoris. Dalam kategori himpunan hal yang sebaliknya juga berlaku, jadi monomorfisme persisnya adalah morfisme injektif. Kebalikannya juga berlaku di sebagian besar kategori aljabar yang terjadi secara alami karena adanya objek bebas pada satu generator.

Secara umum tidak benar bahwa semua monomorfisme harus injektif dalam kategori lain; yaitu, ada pengaturan di mana morfisme adalah fungsi antar himpunan, tetapi seseorang dapat memiliki fungsi yang tidak bersifat injektif namun merupakan monomorfisme dalam arti kategori. Misalnya, dalam kategori 'Div' habis grup (abelian) dan homomorfisme grup di antara mereka terdapat monomorfisme yang tidak suntik: consider, misalnya, peta hasil bagi q : Q → Q/Z, di mana Q adalah rasio di bawah tambahan, Z bilangan bulat (juga dianggap sebagai grup di bawah penambahan), dan Q/Z adalah sesuai grup hasil bagi. Ini bukan peta suntik, karena misalnya setiap bilangan bulat dipetakan ke 0. Namun demikian, ini adalah monomorfisme dalam kategori ini. Ini mengikuti dari implikasinya q ∘ h = 0 ⇒ h = 0, yang sekarang akan kami buktikan. Jika h : G → Q, where G adalah beberapa kelompok yang dapat dibagi, dan q ∘ h = 0, setelah itu h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Sekarang perbaiki beberapa x ∈ G. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian h(x) ≥ 0 (jika tidak, pilih - x ). Lalu, biarkan n = h(x) + 1, karena G adalah grup yang dapat dibagi, ada beberapa y ∈ G seperti x = ny maka akan menjadi h(x) = n h(y). Dari ini, dan 0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n, maka rumusnya adalah

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

Karena h(y) ∈ Z, Kita merumuskan h(y) = 0, dan dengan cara h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. Maka itu merumuskan h = 0, seperti yang diinginkan.

Di antara konsep berguna lainnya adalah epimorfisme biasa, epimorfisme ekstrem, epimorfisme langsung, epimorfisme kuat, dan epimorfisme terbagi.

• Sebuah epimorfisme dikatakan biasa jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
• Sebuah epimorfisme ${\displaystyle \varepsilon }$ dikatakan ekstrem^[1] jika di setiap representasi ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$, dimana ${\displaystyle \mu }$ adalah monomorfisme, morfisme ${\displaystyle \mu }$ secara otomatis menjadi isomorfisme.
• Sebuah epimorfisme ${\displaystyle \varepsilon }$ dikatakan langsung jika dalam setiap representasi ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$, dimana ${\displaystyle \mu }$ adalah monomorfisme dan ${\displaystyle \varepsilon '}$ adalah epimorfisme, morfisme ${\displaystyle \mu }$ secara otomatis menjadi isomorfisme.

• 

  Sebuah epimorfisme ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ dikatakan kuat^[1][2] jika ada monomorphism ${\displaystyle \mu :C\to D}$ dan morfisme apapun ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ dan ${\displaystyle \beta :B\to D}$ seperti yang ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$, ada morfisme ${\displaystyle \delta :B\to C}$ seperti yang ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ dan ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• Sebuah epimorfisme ${\displaystyle \varepsilon }$ dikatakan terbelah jika ada morfisme ${\displaystyle \mu }$ seperti yang ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ (dalam hal ini ${\displaystyle \mu }$ disebut invers sisi kanan untuk ${\displaystyle \varepsilon }$).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis dalam teori cincin. Morfisme f: A → B of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan: D(f) : D(B) → D(A).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S¹.

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme f₁ : X → Y₁ dan f₂ : X → Y₂ dikatakan setara jika terdapat isomorfisme j : Y₁ → Y₂ with j f₁ = f₂. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari X.

• Menyematkan (matematika)
• Dekomposisi nodal
• Subobjek

• Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Monomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Van Oosten, Jaap (1995). Basic Category Theory (PDF). BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus. ISSN 1395-2048. 
• Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 

• monomorphism di nLab
• Strong monomorphism di nLab