Masalah Monty Hall

Masalah Monty Hall adalah sebuah teka-teki yang melibatkan probabilitas dan berasal dari sebuah acara permainan Amerika Let's Make a Deal. Nama masalah ini berasal dari nama pembawa acara tersebut, Monty Hall. Masalah ini juga disebut sebagai paradoks Monty Hall; ia adalah paradoks dalam artian penyelesaian masalah tersebut adalah berlawanan dengan intuisi seseorang.

Pernyataan yang terkenal dari masalah ini dipublikasikan di majalah Parade:

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Oleh karena pemain tidak tahu apa yang ada di belakang kedua pintu sisanya, kebanyakan orang akan berasumsi bahwa setiap pintu akan memiliki probabilitas yang sama dan mengambil kesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan menaikkan probabilitas pemain untuk memenangkan mobil tersebut dari 1/3 menjadi 2/3.

Ketika masalah dan penyelesaiannya muncul di Parade, sekitar 10.000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan adalah salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan Parade atas masalah ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan jika masalah ini dinyatakan secara tidak ambigu dan disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan jawaban masalah tersebut.

Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah The American Statistician pada tahun 1975 yang menanyakan masalah yang berdasarkan pada acara permainan Let's Make a Deal (Selvin 1975a). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" (Selvin 1975b). Masalah ini secara matematika sama dengan (Morgan et al., 1991) Masalah Tiga Tahanan yang dideskripsikan pada kolom Permainan Matematika (Mathematical Games) Martin Gardner di majalah Scientific American pada tahun 1959 (Gardner 1959).

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi masalah ini, yaitu tidaklah jelas apakah pembawa acara tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, menawarkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat mobil (Mueser and Granberg 1999). Analisis standar pada masalah ini memiliki asumsi bahwa pembawa acara tersebut dibatasi untuk selalu membuka pintu yang menampakkan kambing, menawarkan pemain untuk mengalihkan pilihannya, dan membuka dua pintu sembarang jika pilihan pertama pemain sebenarnya adalah mobil (Barbeau 2000:87). Oleh karena itu, pernyataan masalah yang lebih tepat adalah sebagai berikut:

Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Mobil dan kambing-kambing tersebut diletakkan secara acak di belakang pintu sebelum acara dimulai. Peraturan permainan ini adalah: Setelah anda memilih sebuah pintu, pintu akan tetap tertutup. Pembawa acara Monty Hall yang tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu diharuskan untuk memilih dua pintu sisanya, dan pintu yang dia buka haruslah pintu yang terdapat kambing. Jika kedua pintu sisa tersebut dua-duanya terdapat kambing di belakangnya, maka dia akan memilih secara acak. Setelah Monty Hall membuka sebuah pintu yang terdapat kambing, dia akan menanyakan Anda apakah Anda ingin bertahan pada pilihan pertama anda atau beralih pada pintu terakhir yang tersisa. Bayangkan anda memilih Pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 yang terdapat kambing. Dia kemudian bertanya, "Apakah Anda ingin beralih ke Pintu 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Perlu dicatat bahwa pemain pada awalnya memilih pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa acara membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan mobil tersebut.

Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan adalah tergantung pada lokasi mobil tersebut. Apabila kita mengikuti asumsi masalah di atas dan pemain memilih pintu 1, maka terdapat tiga skenario:

• Pemain memilih pintu yang di belakangnya terdapat mobil. Pembawa acara harus membuka salah satu dari dua pintu sisanya secara acak.
• Mobil tersebut berada di belakang pintu 2 dan pembawa acara harus membuka pintu 3.
• Mobil tersebut berada di belakang pintu 3 dan pembawa acara harus membuka pintu 2.

Pemain memilih Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 1		Mobil di belakang Pintu 2	Mobil di belakang Pintu 3
Pembawa acara membuka salah satu dari dua pintu		Pembawa acara harus membuka Pintu 3	Pembawa acara harus membuka Pintu 2
Probabilitas kalah jika mengalihkan pilihan adalah 1/6	Probabilitas kalah jika mengalihkan pilihan adalah 1/6	Probabilitas menang jika mengalihkan pilihan adalah 1/3	Probabilitas menang jika mengalihkan pilihan adalah 1/3

Pemain yang memilih untuk mengalihkan pilihannya akan menang jika mobil tersebut berada di dua pintu yang tidak terpilih. Dalam dua kasus tersebut, masing-masing terdapat 1/3 probabilitas kemenangan jika mengalihkan pilihan, sehingga total probabilitas kemenangan adalah 2/3.

Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka acara akan membuka pintu yang mana (Morgan dkk. 1991). Hal ini berarti jika banyak pemain secara acak memilih untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang memilih untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang memilih untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan mobil tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan menggunakan komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula bagian Simulasi di bawah).

Ketika masalah Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, mayoritas orang akan berasumsi bahwa setiap pintu memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang memilih untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir Secara Logika (The Power of Logical Thinking), vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan penerima hadiah Nobel pun secara sistematis memberikan jawaban yang salah, dan mereka bersikeras pada jawaban mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang memberikan jawaban yang benar."

Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada Majalah Parade tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. (Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).

Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini adalah keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan memengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini adalah dasar penyelesaian dari masalah yang menegaskan bahwa pembawa acara yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3 untuk memilih mobil. Untuk masalah yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada jawaban yang benar, yaitu 2/3 peluang menang jika mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada jawaban yang sama ketika diberikan variasi masalah yang berbeda, dan jawaban intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).

Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa acara buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini adalah pertanyaan yang berbeda secara matematika dan memiliki jawaban yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa acara memilih pintu yang dia buka apabila pilihan awal pemain adalah mobil (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, jika pembawa acara sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya memilih Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan adalah 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa acara telah membuka Pintu 3. Oleh karena itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laku pembawa acara menjadikan jawaban probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa acara buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).

Kebanyakan orang akan mengira kejadian yang lampau (pembawa acara membuka pintu yang di belakangnya terdapat kambing) dapat diabaikan ketika kita memperkirakan probabilitas masalah ini dan tidak ada hubungan antara pilihan pemain dengan pintu yang pembawa acara buka. Namun sebenarnya pilihan pemain akan memengaruhi pilihan pembawa acara.

Hal ini dapat kita mengerti apabila kita bandingkan dengan variasi masalah yang diajukan vos Savant pada bulan November 2006. Dalam versi yang berbeda ini, Monty Hall lupa pintu mana yang di belakangnya terdapat mobil. Dia kemudian membuka pintu secara acak dan lega setelah mengetahui pintu yang dia buka ternyata terdapat kambing. Apabila ditanyai apakah kontestan ingin mengalihkan pilihan, vos Savant menjawab, "Jika pembawa acara saja tidak tahu, maka tidak ada bedanya antara tetap pada pilihan maupun mengalihkan pilihan. Jika dia tahu, maka alihkanlah pilihan." (vos Savant, 2006).

Dalam teka-teki versi ini, pemain memiliki kesempatan untuk menang yang sama baik dia beralih maupun tidak. Terdapat enam kemungkinan kejadian yang dapat terjadi, masing-masing memiliki probabilitas 1/6:

Pemain memilih	Pembawa acara menampakkan	Pintu ke-3 terdapat
Kambing A	Mobil	Kambing B
Kambing B	Mobil	Kambing A
Kambing A	Kambing B	Mobil
Kambing B	Kambing A	Mobil
Mobil	Kambing A	Kambing B
Mobil	Kambing B	Kambing A

Dalam dua kasus pertama, pembawa acara menampakkan mobil. Namun seperti yang telah dinyatakan dalam masalah awal, pembawa acara pasti akan menampakkan kambing, sehingga:

Pemain memilih	Pembawa acara menampakkan	Pintu ke-3 terdapat
Kambing A	Kambing B	Mobil
Kambing B	Kambing A	Mobil
Kambing A	Kambing B	Mobil
Kambing B	Kambing A	Mobil
Mobil	Kambing A	Kambing B
Mobil	Kambing B	Kambing A

Probabilitas pemain untuk memenangkan permainan dengan mengalihkan pilihannya akan naik menjadi 2/3 karena dalam dua kasus pertama, pembawa acara dipaksa untuk menampakkan kambing. Perubahan ini mengubah probabilitas "Pintu ke-3" untuk terdapat mobil menjadi dua kali lipat. Inilah alasannya mengapa mengalihkan pilihan akan meningkatkan peluang kemenangan jika pembawa acara tersebut tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut.

Penyelesaian masalah ini akan lebih mudah dimengerti apabila jumlah pintu dalam permasalahan ini adalah 1.000.000 pintu daripada hanya 3 pintu saja (vos Savant 1990). Dalam kasus ini, pembawa acara membuka 999.998 pintu yang terdapat kambing dan hanya menyisakan pintu pilihan pemain dan satu pintu sisanya. Pembawa acara kemudian menawarkan pemain kesempatan untuk mengalihkan pilihan. Pintu yang tersisa akan memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat mobil karena pintu yang dipilih pemain memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat kambing. Pemain yang berpikiran rasional akan mengalihkan pilihannya.

Daripada membuka salah satu pintu dan menunjukkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita dapat melakukan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut adalah setara karena pemain tidak bisa dan tidak akan memilih pintu yang telah terbuka (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel dkk., 2008). Oleh karena itu pemain hanya memiliki dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang memiliki probabilitas 2/3.

Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil) secara acak.

Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori probabilitas Bayes (Gill 2002) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi latar belakang apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:

${\displaystyle C_{i}\,}$: Mobil berada di pintu i, i sama dengan 1,2, atau 3.

${\displaystyle H_{ij}\,}$: Pembawa acara membuka pintu j setelah pemain memilih pintu i, i dan j sama dengan 1, 2 atau 3.

Sebagai contoh, ${\displaystyle C_{1}\,}$ menandakan proposisi mobil di belakang pintu 1 dan ${\displaystyle H_{12}\,}$ menandakan pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan ${\displaystyle I\,}$, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:

Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara a priori memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, a priori berarti sebelum permainan di mulai, atau sebelum melihat kambing. Karenanya, probabilitas awal proposisi ${\displaystyle C_{i}\,}$ adalah:

${\displaystyle P(C_{i}|I)\,={\frac {1}{3}}.}$

Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan probabiltas bersyarat dari proposisi ${\displaystyle H_{ij}\,}$ tergantung pada keberadaan mobil tersebut:

${\displaystyle P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}}}$	${\displaystyle \,0\,}$		jika i = j, (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang dipilih pemain)
	${\displaystyle \,0\,}$		jika j = k, (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang terdapat mobil di belakangnya)
	${\displaystyle \,1/2\,}$		jika i = k, (kedua pintu yang tidak terdapat mobil memiliki peluang yang sama untuk dibuka)
	${\displaystyle \,1\,}$		jika i ${\displaystyle \neq }$k dan j ${\displaystyle \neq }$ k, (hanya terdapat satu pintu yang tersedia untuk dibuka)

Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan probabilitas posterior kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara melakukan proposisi ${\displaystyle H_{13}\,}$.

Probabilitas posterior kemenangan dengan tidak beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan ${\displaystyle H_{13}\,}$, ditulis ${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)}$. Dengan menggunakan Teorema Bayes, hal ini dapat diekspresikan sebagai:

${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)={\frac {P(H_{13}|C_{1},\,I)\,P(C_{1}|I)}{P(H_{13}|I)}}.}$

Dengan asumsi di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:

${\displaystyle P(H_{13}|C_{1},\,I)\,P(C_{1}|I)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}.}$

Tetapan penormalan pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi probabilitas marginal dan probabilitas bersyarat:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}P(H_{13}|I)&{}=&P(H_{13},\,C_{1}|I)+P(H_{13},\,C_{2}|I)+P(H_{13},\,C_{3}|I)\\&{}=&P(H_{13}|C_{1},\,I)\,P(C_{1}|I)\,+\\&&P(H_{13}|C_{2},\,I)\,P(C_{2}|I)\,+\\&&P(H_{13}|C_{3},\,I)\,P(C_{3}|I)\\&{}=&{\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}}\ =\ {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ .}\end{array}}}$

Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:

${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)={\frac {1}{6}}\,/\,{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.}$

Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.

Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, ${\displaystyle P(C_{2}|H_{13},\,I)}$, dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:

${\displaystyle 1=P(C_{1}|H_{13},\,I)+P(C_{2}|H_{13},\,I)+P(C_{3}|H_{13},\,I).}$

Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka ${\displaystyle P(C_{3}|H_{13},\,I)}$ haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(C_{3}|H_{13},\,I)&={\frac {P(H_{13}|C_{3},\,I)\,P(C_{3}|I)}{P(H_{13}|I)}}\\&=\left(0\times {\frac {1}{3}}\right)/\,{\frac {1}{2}}=0\ .\end{aligned}}}$

Maka:

${\displaystyle P(C_{2}|H_{13},\,I)=1-{\frac {1}{3}}-0={\frac {2}{3}}.}$

Ini menunjukkan bahwa strategi untuk memenangkan permainan adalah mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa acara yang menunjukkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan transfer probabilitas a priori sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut memiliki peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.

• Paradoks kotak Bertrand (dikenal juga sebagai masalah tiga kartu)
• Lelaki atau perempuan
• Masalah Tiga Tahanan
• Masalah dua amplop

• Adams, Cecil (1990)."On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2—no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", Diarsipkan 2008-05-15 di Wayback Machine. The Straight Dope, (November 2 1990). Retrieved July 25, 2005.
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17(2): 89–94.
• Barbeau, Edward (2000). Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-529-1.
• Bloch, Andy (2008). "21 - The Movie (my review)". Diakses tanggal 2008-05-05. 
• D'Ariano, G.M et al. (2002). "The Quantum Monty Hall Problem" (PDF). Los Alamos National Laboratory, (February 21, 2002). Retrieved January 15, 2007.
• Devlin, Keith (July – August 2003). "Devlin's Angle: Monty Hall". The Mathematical Association of America. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2003-07-25. Diakses tanggal 2008-04-25.  Periksa nilai tanggal di: |date= (bantuan)
• Falk, Ruma (1992). "A closer look at the probabilities of the notorius three prisoners," Cognition 43: 197–223.
• Flitney, Adrian P. and Abbott, Derek (2002). "Quantum version of the Monty Hall problem," Physical Review A, 65, Art. No. 062318, 2002.
• Fox, Craig R. and Levav, Jonathan (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability," Journal of Experimental Psychology: General 133(4): 626-642.
• Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Gardner, Martin (2001). A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit. A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-120-9. 
• Gill, Jeff (2002). Bayesian Methods, pp. 8–10. CRC Press. ISBN 1-58488-288-3.
• Gillman, Leonard (1992). "The Car and the Goats," American Mathematical Monthly 99: 3–7.
• Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.
• Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1999). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711-729.
• Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie (2006-07-04). Grinstead and Snell’s Introduction to Probability (PDF). Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, published by the American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell. Diakses tanggal 2008-04-02.  Periksa nilai tanggal di: |date= (bantuan)Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Hall, Monty (1975). The Monty Hall Problem. Diarsipkan 2010-04-08 di Wayback Machine. LetsMakeADeal.com. Includes May 12, 1975 letter to Steve Selvin. Retrieved January 15, 2007.
• Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003). "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser," Journal of Experimental Psychology: General 132(1). Retrieved from https://web.archive.org/web/20050115134357/http://www.usd.edu/~xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf March 30, 2008.
• Magliozzi, Tom; Magliozzi, Ray (1998). Haircut in Horse Town: & Other Great Car Talk Puzzlers. Diane Pub Co. ISBN 0-7567-6423-8. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May–June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.
• Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284-287.
• Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", Diarsipkan 2004-12-10 di Wayback Machine. University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved July 5, 2005.
• Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1): 67 (February 1975).
• Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3): 134 (August 1975).
• Stibel, Jeffrey, Dror, Itiel, & Ben-Zeev, Talia (2008). "The Collapsing Choice Theory: Dissociating Choice and Judgment in Decision Making," Theory and Decision. Published online at http://www.springerlink.com/content/v65v2841q3820622/^{[pranala nonaktif permanen]}.
• Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times, 1991-07-21. Retrieved on 2008-01-18.
• Tierney, John (2008). "And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw", The New York Times, 2008-04-08. Retrieved on 2008-04-08.
• vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).
• vos Savant, Marilyn (1996). The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3. 
• vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 6 (26 November 2006).
• Williams, Richard (2004). "Appendix D: The Monty Hall Controversy" (PDF). Course notes for Sociology Graduate Statistics I. Diakses tanggal 2008-04-25. 
• Whitaker, Craig F. (1990). [Letter]. "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).

• The Monty Hall Problem Diarsipkan 2010-04-08 di Wayback Machine. di letsmakeadeal.com
• The Game Show Problem Diarsipkan 2010-03-10 di Wayback Machine.
• Monty Hall di Curlie (dari DMOZ)
• "Monty Hall Paradox" oleh Matthew R. McDougal, The Wolfram Demonstrations Project (simulasi)
• The Monty Hall Problem di The New York Times (simulasi)