Lingkaran satuan

Dalam matematika, lingkaran satuan adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Seringkali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan S¹.

Apabila (x, y) adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka x dan y merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras, x dan y memenuhi persamaan:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Karena x² = (−x)² untuk setiap x, dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu-x ataupun sumbu-y juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik (x, y) pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks z dalam bentuk $${\displaystyle z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {cis} (t)}$$ untuk setiap t (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi $${\displaystyle |z|=1.}$$

Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut θ dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika (x, y) merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke (x, y) membentuk sudut θ dari sumbu-x positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka ${\displaystyle \cos(\theta )=x\,\!}$ dan ${\displaystyle \sin(\theta )=y.\,\!}$

Persamaan x² + y² = 1 menghasilkan relasi:

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1.\,\!}$

yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

${\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )\,\!}$ dan ${\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )\,\!}$

untuk setiap bilangan bulat k.

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari OP dari titik asal O menuju titik P(x₁,y₁) pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut t (dengan 0 < t < π2) terbentuk dengan sumbu-x positif. Sekarang perhatikan titik Q(x₁,0) dan segmen garis PQ ⊥ OQ. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku △OPQ dengan ∠QOP = t. Karena panjang PQ adalah y₁, panjang OQ adalah x₁, dan OP panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka sin(t) = y₁ dan cos(t) = x₁.

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari OR dari titik asal ke titik R(−x₁,y₁) pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut t tadi terbentuk dengan sumbu-x negatif. Sekarang perhatikan titik S(−x₁,0) dan segmen garis RS ⊥ OS. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku △ORS dengan ∠SOR = t. Dari sini bisa terlihat bahwa ∠ROQ = π − t, sehingga koordinat R ialah (cos(π − t), sin(π − t)) serupa seperti P yang berada pada titik (cos(t), sin(t)).

Oleh karena (−x₁, y₁) sama dengan (cos(π − t), sin(π − t)) dan (x₁,y₁) sama dengan (cos(t), sin(t)), maka dapat disimpulkan sin(t) = sin(π − t) dan −cos(t) = cos(π − t). Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan tan(π − t) = −tan(t), lantaran tan(t) = y₁x₁ dan tan(π − t) = y₁−x₁. Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan sin(π4) = sin(3π4) = 1√2.

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari π2. Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil – termasuk sudut yang lebih dari 2π. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan a + bi dapat dipandang sebagai titik (a, b). Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut grup lingkaran; biasanya disimbolkan dengan ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ Di bidang, perkalian oleh cos θ + i sin θ menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar θ. Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:$${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}$$merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

• Weisstein, Eric W. "Unit circle". MathWorld.