Kekeliruan dalam matematika

Kekeliruan dalam matematika adalah suatu ilustrasi dari konsep yang memuat jenis-jenis kekeliruan pada pembuktian matematika yang seringkali diperlihatkan, dan terkadang dikoleksikan. Yang membedakan kesalahan sederhana dengan kekeliruan matematika dalam suatu pembuktian adalah bahwa kesalahan dalam pembuktian mengakibatkannya menjadi tak valid, sedangkan di berbagai contoh kekeliruan matematika, terdapat elemen yang tersembunyi saat memberikan pembuktian.

Kekeliruan matematika dapat ditemukan di banyak cabang matematika. Dalam aljabar elementer, banyak jenis contoh yang melibatkan langkah-langkah dengan menggunakan pembagian dengan nol, menghilangkan akar dengan cara yang salah, atau lebih umumnya menyamakan fungsi bernilai banyak yang nilainya berbeda. Selain di aljabar elementer, kekeliruan matematika yang terkenal juga ditemukan dalam geometri Euklides elementer dan kalkulus.^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

Pembatalan yang tak disengaja dalam kalkulus

Terdapat contoh-contoh yang memberikan hasil pembuktian yang benar, tetapi dengan proses mengerjakan yang salah. Hal tersebut dinamakan sebagai howler (secara harfiah berarti "kesalahan besar"). Istilah howler dipakai oleh Maxwell, yang mengartikannya sebagai bukti, perhitungan atau turunan yang salah, memberikan hasil yang benar tetapi dengan logika atau operasi yang salah.^{[2][halaman dibutuhkan]}

Contoh berikut merupakan kesalahan yang paling umum, yakni saat menyederhanakan pecahan.$${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.}$$Pada contoh tersebut, proses mengerjakan penyederhanaan pecahan tersebut salah, walaupun disimpulkan bahwa 1664 = 14 adalah benar.^{[catatan 1]}

Terdapat berbagai kekeliruan dalam pembagian dengan nol. Pada contoh berikut, akan dijelaskan terkait pembagian dengan nol melalui bukti bahwa 2 = 1, atau dapat dimodifikasi dengan membuktikan bahwa untuk sebarang bilangan akan sama dengan sebarang bilangan lain.^[3]

1. Misalkan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah bilangan-bilangan tak nol yang bernilai sama

   ${\displaystyle a=b}$

2. Kalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan ${\displaystyle a}$

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. Pada kedua ruas persamaan, kurangi dengan ${\displaystyle b^{2}}$

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. Faktorkan ekspresi-ekspresi di kedua ruas persamaan. Dengan kata lain, ruas kiri persamaan difaktorkan sebagai selisih dua bilangan kuadrat, sedangkan di ruas kanan difaktorkan dengan menyaring ${\displaystyle b}$ dari dua suku tersebut

   ${\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}$

5. Bagi kedua ruas persamaan dengan ${\displaystyle (a-b)}$

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. Kemudian, gunakanlah fakta yang didapatkan dari langkah pertama, bahwa ${\displaystyle a=b}$

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. Pada ruas kiri, jumlahkan kedua suku tersebut

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. Terakhir, bagi kedua ruas dengan ${\displaystyle b}$

   ${\displaystyle 2=1}$

Kekeliruan dalam bukti tersebut ditemukan di langkah ke-5. Proses mengerjakan dari langkah ke-4 ke langkah ke-5 melibatkan pembagian dengan ${\displaystyle a-b}$ yang bernilai nol karena ${\displaystyle a=b}$. Karena pembagian dengan nol adalah tak terdefinisi, maka argumen pada pembuktian tersebut menjadi tak valid, atau salah.

• Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-05700-0, MR 0099907 .