Identitas Euler

Bagian dari serial artikel mengenai
e
Artikel mengenai e
${\displaystyle 2.718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\,287\dots }$
Penggunaan Bunga majemuk Identitas Euler Rumus Euler Waktu paruh (pertumbuhan dan peluruhan eksponensial)
Sifat Logaritma alami Fungsi eksponensial
Nilai Bukti bahwa e irasional Representasi dari e Teorema Lindemann-Weierstrass
Tokoh John Napier Leonhard Euler
Topik terkait Konjektur Schanuel
Portal Matematika
l b s

Identitas Euler^{[n 1]} (bahasa Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}$

di mana ${\displaystyle e\,\!}$ adalah bilangan Euler, ${\displaystyle i\,\!}$ adalah unit imajiner dan ${\displaystyle \pi \,\!}$ adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu. Cari sumber: "Identitas Euler" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

• ${\displaystyle 0\,\!}$ adalah identitas penambahan,
• ${\displaystyle 1\,\!}$ adalah identitas perkalian,
• ${\displaystyle e\,\!}$ adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
• ${\displaystyle i\,\!}$ adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah ${\displaystyle -i\,\!}$), dan
• ${\displaystyle \pi \,\!}$ adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.

Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik ${\displaystyle (1,0)}$ pada bidang kompleks sebesar 180° (${\displaystyle \pi }$ radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar ${\displaystyle 1}$ searah sumbu ${\displaystyle x}$. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal ${\displaystyle (0,0)}$.

Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

dengan mensubtitusikan ${\displaystyle x}$ dengan ${\displaystyle \pi }$ didapat:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i\cdot 0\\&=-1\end{aligned}}}$

sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$. Q.E.D.

• Bilangan kompleks

1. ^ Istilah "identitas Euler" juga digunakan untuk merujuk pada konsep lain, termasuk fungsi umum e^ix = cos x + i sin x,^[1] dan Identitas darab Euler.^[2]