Homomorfisme

Dalam aljabar abstrak, homomorfisme atau kehomomorfan (bahasa Inggris: Homomorphism) adalah struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

Homomorfisme adalah peta antara dua struktur aljabar dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan operasi dari struktur. Artinya adalah peta ${\displaystyle f:A\to B}$ antara dua himpunan ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika ${\displaystyle \cdot }$ adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi operasi biner), setelah itu

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

untuk setiap pasangan ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ elemen ${\displaystyle A}$.^{[note 1]} Sering dikatakan bahwa ${\displaystyle f}$ mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta ${\displaystyle f:A\to B}$ mempertahankan operasi ${\displaystyle \mu }$ dari ariti k, ditentukan pada ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ jika

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

untuk elemen ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ pada ${\displaystyle A}$.

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi Operasi 0-ari, yaitu konstanta. Secara khusus, ketika elemen identitas diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, bilangan real membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. Fungsi eksponensial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

memadai

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena fungsi invers, logaritma natural, memenuhi

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

dan juga grup homomorfisme.

Bilangan real adalah gelanggang, yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 matriks juga merupakan cincin, terhadap penambahan matriks dan perkalian matriks. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

di mana r adalah bilangan real, maka ${\displaystyle f}$ adalah homomorfisme gelanggang, karena ${\displaystyle f}$ mempertahankan kedua penjumlahan:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

dan perkalian:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Untuk contoh lain, bukan-nol bilangan kompleks membentuk kelompok terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki invers perkalian, yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan

${\displaystyle f(z)=|z|}$.

Artinya, ${\displaystyle f}$ adalah nilai mutlak (atau modulus) dari bilangan kompleks ${\displaystyle z}$. Maka ${\displaystyle f}$ adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2})}$.

Perhatikan bahwa f tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|}$.

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoid ${\displaystyle f}$ dari monoid ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ ke monoid ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh ${\displaystyle f}$ berjumlah ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ dan ${\displaystyle f(0)=1}$.

Sebuah komposisi aljabar ${\displaystyle A}$ di atas bidang ${\displaystyle F}$ memiliki bentuk kuadrat, yang disebut norma, ${\displaystyle N:A\to F}$, yang merupakan homomorfisme grup dari grup perkalian dari ${\displaystyle A}$ ke grup perkalian dari ${\displaystyle F}$.

Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk morfisme umum.

Sebuah isomorfisme antara struktur aljabar dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme bijektif.^{[1]:134 [2]:28}

Dalam konteks yang lebih umum dari teori kategori, isomorfisme didefinisikan sebagai morfisme, yang memiliki invers yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika

${\displaystyle f:A\to B}$

adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme

${\displaystyle g:B\to A}$

such that

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}}$ dan ${\displaystyle \qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}$.

Jika ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ memiliki himpunan yang mendasari, dan ${\displaystyle f:A\to B}$ memiliki invers ${\displaystyle g}$, maka ${\displaystyle f}$ adalah bijektif. Faktanya, ${\displaystyle f}$ adalah injeksi, seperti ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ menyiratkan ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$, dan ${\displaystyle f}$ adalah dugaan, karena, untuk ${\displaystyle x}$ mana pun di ${\displaystyle B}$, salah satunya memiliki ${\displaystyle x=f(g(x))}$, dan ${\displaystyle x}$ adalah gambar dari elemen ${\displaystyle A}$.

Sebaliknya jika ${\displaystyle f:A\to B}$ adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkan ${\displaystyle g:B\to A}$ jadilah peta sedemikian rupa sehingga ${\displaystyle g(y)}$ adalah elemen unik ${\displaystyle x}$ dari ${\displaystyle A}$ sedemikian rupa sehingga ${\displaystyle f(x)=y}$. Salah satunya memiliki ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}}$ dan ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}$, dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa ${\displaystyle g}$ adalah homomorfisme. Jika ${\displaystyle *}$ adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ elemen ${\displaystyle B}$, salah satunya memiliki

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

dan ${\displaystyle g}$ karenanya serasi dengan ${\displaystyle *.}$ Karena buktinya serupa untuk ariti mana pun, ini menunjukkan bahwa ${\displaystyle g}$ adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untuk ruang topologi, morfisme adalah peta kontinu, dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut homeomorphism atau peta bikontinu, dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

Sebuah keendomorfan adalah homomorfisme yang ranah sama dengan kodomain, atau, lebih umum lagi, morfisme yang sumbernya sama dengan target.^[1]:135

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari kategori membentuk monoid terhadap komposisi.

Keendomorfan dari ruang vektor atau modul membentuk gelanggang. Dalam kasus ruang vektor atau modul gratis berhingga dimensi, pilihan basis menginduksi keisomorfan gelanggang antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang matriks persegi dengan dimensi yang sama.

|}

Homomorfisme ${\displaystyle f:X\to Y}$ mendefinisikan sebuah hubungan kesetaraan ${\displaystyle \sim }$ pada ${\displaystyle X}$ pada ${\displaystyle a\sim b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Relasi ${\displaystyle \sim }$ disebut kernel dari ${\displaystyle f}$. Ini adalah hubungan kongruensi di ${\displaystyle X}$. Himpunan hasil ${\displaystyle X/{\sim }}$ kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti ${\displaystyle X}$, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh ${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$, untuk setiap operasi ${\displaystyle \ast }$ dari ${\displaystyle X}$. Dalam hal ini, gambar ${\displaystyle X}$ di ${\displaystyle Y}$ terhadap homomorfisme ${\displaystyle f}$ harus isomorfik menjadi ${\displaystyle X/\!\sim }$; fakta ini adalah salah satu teorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalah grup untuk beberapa operasi, hubungan kesetaraan ${\displaystyle K}$ dari elemen identitas operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan ${\displaystyle X/K}$ (biasanya dibaca sebagai "${\displaystyle X}$ mod ${\displaystyle K}$"). Juga dalam kasus ini, ini adalah ${\displaystyle K}$, bukan ${\displaystyle \sim }$, yang disebut kernel dari ${\displaystyle f}$. Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus grup abelian, ruang vektor dan modul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti subgrup normal untuk kernel homomorfisme grup dan ideal untuk kernel homomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah ideal dua sisi).

Dalam teori model, pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan ${\displaystyle L}$ menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ menjadi dua struktur-${\displaystyle L}$. Kemudian homomorfisme dari ${\displaystyle A}$ ke ${\displaystyle B}$ adalah pemetaan ${\displaystyle h}$ dari ranah ${\displaystyle A}$ ke ranah ${\displaystyle B}$ sedemikian rupa sehingga

• ${\displaystyle h(F^{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=F^{B}(h(a_{1}),\dots ,h(a_{n}))}$ untuk setiap simbol fungsi ary-${\displaystyle n}$ dari ${\displaystyle F}$ dalam ${\displaystyle L}$,
• ${\displaystyle R^{A}(a_{1},\dots ,a_{n})}$ menyiratkan ${\displaystyle R^{B}(h(a_{1}),\dots ,h(a_{n}))}$ untuk setiap simbol relasi ary-${\displaystyle n}$dari ${\displaystyle R}$dalam ${\displaystyle L}$.

Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah homomorfisme graf. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.^[3]

• Fungsi kontinu
• Difeomorphism
• Enkripsi homomorfik
• Pembagian rahasia homomorfik - protokol pemungutan suara terdesentralisasi yang sederhana
• Morfisme

1. ^ ^{a b} Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, 25 (edisi ke-3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630 
2. ^ Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
3. ^ Section 17.4, in Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7

• Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
• Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90036-5, Zbl 0232.18001 
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7