Himpunan kabur

Dalam matematika, himpunan kabur atau himpunan fuzi^[1] (bahasa Inggris: fuzzy set) adalah himpunan objek-objek dengan status keanggotaan yang tidak dapat ditentukan secara tegas.^[2] Konsep himpunan kabur diperkenalkan secara terpisah di tahun 1965 oleh Lotfi A. Zadeh, sebagai perumuman dari konsep himpunan yang standar.^[2][3] Di tahun yang sama, Salii mengembangkan struktur bernama L-relation yang lebih umum; struktur ini ia teliti dari sudut pandang aljabar abstrak.^[4]

Pada teori himpunan klasik (standar), status keanggotaan elemen dalam suatu himpunan ditentukan dari kondisi benar-salah — antara elemen tersebut termasuk anggota himpunan, atau tidak termasuk. Di sisi lain, teori himpunan kabur memperbolehkan status keanggotaan yang parsial. Sebagai contoh, batu pirus yang berwarna toska dapat dianggap sebagai anggota himpunan semua benda hijau, walau tidak sepenuhnya. Status keanggotaan ini selanjutnya dapat dideskripsikan dengan suatu fungsi keanggotaan yang bernilai real pada selang [0, 1]. Teori himpunan kabur dapat diterapkan pada bidang ilmu dengan informasi yang tidak pasti atau tidak lengkap. Himpunan kabur, bersama dengan relasi kabur, saat ini telah diterapkan dalam bidang linguistik,^[5] pengambilan keputusan,^[6][7] bioinformatika,^[8] dan clustering^[9].

Himpunan kabur dapat didefinisikan sebagai pasangan ${\displaystyle (X,\,\mu )}$, dengan ${\displaystyle X}$ adalah sebarang himpunan (yang umumnya disyaratkan tidak kosong) dan ${\displaystyle \mu \colon X\rightarrow [0,1]}$ adalah fungsi keanggotaan. Himpunan ${\displaystyle X}$ (terkadang disimbolkan oleh ${\displaystyle \Omega }$) disebut dengan semesta pembicaraan, dan untuk setiap ${\displaystyle x\in U,}$ nilai ${\displaystyle \mu (x)}$ disebut derajat dari keanggotaan elemen ${\displaystyle x}$ dalam ${\displaystyle (X,\mu )}$. Lebih lanjut, ${\displaystyle x}$ disebut

• tidak termasuk dalam himpunan kabur ${\displaystyle (X,\,\mu )}$ jika ${\displaystyle \mu (x)=0}$,
• sepenuhnya termasuk jika ${\displaystyle \mu (x)=1}$,
• sebagian termasuk jika ${\displaystyle 0<\mu (x)<1}$.

Dari definisi di atas, beberapa definisi lain didapat dibuat untuk mempermudah diskusi mengenai operasi-operasi terkait himpunan kabur. Beberapa definisi tersebut antara lain:

• Himpunan kabur ${\displaystyle A}$ dikatakan kosong (${\displaystyle A=\varnothing }$) ketika (dalam artian jika dan hanya jika)

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• Dua himpunan kabur ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ dikatakan sama (${\displaystyle A=B}$) ketika

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• Himpunan kabur ${\displaystyle A}$ dikatakan subset dari himpunan ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\subseteq B}$) ketika

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$