Grup dengan operator

Dalam aljabar abstrak, cabang dari matematika, struktur aljabar grup dengan operator atau grup-Ω apabila dilihat sebagai grup dengan himpunan Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.

Grup dengan operator dipelajari secara ekstensif oleh Emmy Noether dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga teorema isomorfisme Noether.

Sebuah grup dengan operator ${\displaystyle (G,\Omega )}$ apabila didefinisikan^[1] sebagai sebuah grup ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ bersama dengan himpunan tindakan ${\displaystyle \Omega }$ pada ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

yaitu distributif relatif terhadap hukum grup:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }}$.

Untuk setiap ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, aplikasi ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ maka merupakan endomorfisme dari G. Dari sini, hasil bahwa grup juga apabila dilihat sebagai grup G dengan keluarga indeks ${\displaystyle (u_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$ dari endomorfisme pada G.

${\displaystyle \Omega }$ disebut ranah operasi. Endomorfisme asosiasi^[2] disebut homotetis dari G.

Diberikan dua grup G, H dengan ranah operasi yang sama ${\displaystyle \Omega }$, sebuah homomorfisme grup dengan operator adalah homomorfisme grup ${\displaystyle \phi :G\to H}$ dirumuskan

${\displaystyle \phi (g^{\omega })=(\phi (g))^{\omega }}$ untuk semua ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ dan ${\displaystyle g\in G}$.

Subgrup S dari G disebut subgrup stabil, ${\displaystyle \omega }$ atau subgrup invarian-${\displaystyle \Omega }$ jika didukung homotetis, yaitu

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$ untuk semua ${\displaystyle s\in S}$ dan ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

Dalam teori kategori, grup dengan operator dapat didefinisikan^[3] sebagai objek dari kategori fungtor ${\displaystyle \operatorname {Grp} ^{M}}$ dimana ${\displaystyle M}$ adalah monoid (yaitu kategori dengan satu objek) dan ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ menunjukkan kategori grup. Definisi ini setara dengan definisi sebelumnya, asalkan ${\displaystyle \Omega }$ adalah monoid (jika tidak, apabila dapat memperluas untuk memasukkan identitas dan semua komposisi).

Sebuah morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara dua fungtor (yaitu dua grup dengan operator pembagian ranah operasi yang sama M). Sekali lagi apabila memulihkan definisi diatas tentang homomorfisme grup dengan operator (dengan dari komponen dari transformasi alami).

Grup dengan operator juga merupakan pemetaan

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

dimana ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$ adalah himpunan endomorfisme grup G.

• Diberikan grup ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle (G,\varnothing )}$adalah grup trivial dengan operasi
• Diberikan modul M atas gelanggang ${\displaystyle R}$, tindakan ${\displaystyle R}$ dengan perkalian skalar pada grup abelian yang mendasari ${\displaystyle M}$, jadi ${\displaystyle (M,R)}$ adalah grup dengan operator.
• Sebagai kasus khusus di atas, setiap ruang vektor atas medan ${\displaystyle k}$ adalah grup dengan operator ${\displaystyle (V,k)}$.

Teorema Jordan–Hölder juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki rangkaian komposisi analog dengan kekompakan dalam topologi, dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang deret komposisi di mana setiap subgrup (normal) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi ${\displaystyle X}$ dari grup yang bersangkutan.

• Tindakan grup

• Bourbaki, Nicolas (1974). Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1–3. Hermann. ISBN 2-7056-5675-8. 
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1–3. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.