Gelanggang terurut

Dalam aljabar abstrak, gelanggang terurut adalah gelanggang R (biasanya komutatif) dengan urutan total ≤ sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b, dan c di R berlaku:^[1]

• jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c.
• jika 0 ≤ a dan 0 ≤ b maka 0 ≤ ab.

Gelanggang terurut umum muncul di aritmatika. Beberapa contohnya termasuk bilangan bulat,rasional dan bilangan real.^[2] (Rasional dan real sebenarnya membangun sebuah lapangan terurut.) Sebaliknya, bilangan kompleks tidak membentuk gelanggang terurut maupun lapangan, karena tidak ada hubungan urutan yang jelas antara elemen 1 dan i.

Dalam analogi yang mirip dengan bilangan real, sebuah elemen c dari gelanggang terurut R dikatakan positif jika 0 < c, sedangkan negatif jika c < 0. Elemen 0 dianggap tidak positif maupun negatif.

Himpunan elemen positif dari gelanggan terurut R sering dilambangkan dengan R₊. Notasi alternatif, yang lebih disukai dalam beberapa disiplin ilmu, adalah menggunakan R₊ untuk himpunan elemen non-negatif, dan R₊₊ untuk himpunan elemen positif.

Jika ${\displaystyle a}$ adalah elemen gelanggang terurut R, maka nilai mutlak dari ${\displaystyle a}$, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle |a|}$, didefinisikan sebagai:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{jika }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{lainnya}},\end{cases}}}$

dengan ${\displaystyle -a}$ adalah invers aditif dari ${\displaystyle a}$ dan 0 adalah elemen identitas.

Gelanggang terurut diskrit adalah gelanggang terurut yang tidak memiliki elemen diantara 0 dan 1. Bilangan bulat adalah contoh gelanggang terurutan diskrit, tetapi bilangan rasional bukan.

• Gelanggang terurutan sebagian

Daftar di bawah ini mencakup referensi ke teorema yang secara resmi diverifikasi oleh proyek IsarMathLib Diarsipkan 2023-05-29 di Wayback Machine..