Distribusi Maxwell-Boltzmann

Maxwell–Boltzmann

Fungsi kepekatan probabilitas
Fungsi distribusi kumulatif
Parameter	${\displaystyle a>0}$
Dukungan	${\displaystyle x\in (0;\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}}$
CDF	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}}$ di mana erf adalah fungsi galat
Mean	${\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
Modus	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
Variance	${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
Skewness	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}}$
Ex. kurtosis	${\displaystyle \gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}}$
Entropi	${\displaystyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}$

Dalam fisika, khususnya mekanika statistik, distribusi Maxwell-Boltzmann yang menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel bergerak bebas antara tumbukan kecil, tetapi tidak berinteraksi satu sama lain, sebagai fungsi suhu dari sistem, massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas. Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya ^[1]

Ini merupakan distribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas - Besaran dari vektor kecepatan, yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain ^[2]

Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal di dalam kesetimbangan termodinamika dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk tekanan dan difusi ^[3] Namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik, lihat distribusi Maxwell-Juttner di bawah ini.

Distribusi ini dinamai dari nama James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.

Biasanya distribusi Maxwell-Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul, tetapi juga berlaku untuk distribusi momentum dan energi dari molekul.

Untuk jumlah vektor 3-dimensi, komponennya diperlakukan independen dan terdistribusi normal dengan rata-rata sama dengan 0 dan standar deviasi dari a . jika X_i didistribusikan sebagai ${\displaystyle X\sim N(0,a^{2})}$, maka

${\displaystyle Z={\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}}}$

disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a . Terlepas dari skala parameter a , distribusi identik dengan distribusi chi yang memiliki 3 derajat kebebasan.

Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann dari mekanika statistik):^[4][5]

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)}$

dimana:

• i adalah microstate (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum - lihat fungsi partisi).
• E_i adalah tingkat energi dari microstate i.
• T adalah temperatur kesetimbangan sistem.
• g_i adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami degenerasi yang memiliki tingkat energi yang sama
• k adalah konstanta Boltzmann.
• N_i adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T, dalam keadaan i yang memiliki energi E _i dan degenerasi g_i.
• N adalah jumlah total molekul dalam sistem.

Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi g_i. Dalam hal ini i akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan g_i yang memiliki energi E_i yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.

Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan Ludwig Boltzmann. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.

Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk energi kinetik, dan g_i konstan untuk semua i. Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad \qquad (2)}$

dimana p² adalah kuadrat dari vektor momentum p = [p_x, p_y, p_z]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}$

dimanaZ adalah fungsi partisi, sesuai dengan penyebut pada persamaan 1. Dalam persamaan ini m adalah massa molekul gas,T adalah suhu termodinamika dank adalah konstanta Boltzmann. Distribusi N_i/N sebanding terhadap fungsi probabbilitas densitas f_p untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}$

Konstanta normalisasi c, dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai momentum 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk p_x ,p_y, dan p_z harus 1.

Dapat ditunjukkan bahwa:

${\displaystyle c={\frac {Z}{(2\pi mkT)^{3/2}}}.\qquad \qquad (5)}$

Mengganti Persamaan 5 ke persamaan 4 menghasilkan:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}$

Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang terdistribusi normal ${\displaystyle p_{x}}$, ${\displaystyle p_{y}}$, dan ${\displaystyle p_{z}}$, dengan variansi ${\displaystyle mkT}$. Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann, dengan ${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan teorema-H pada kesetimbangan dalam kerangka teori kinetik.

Menggunakan p² = 2mE, dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat di bawah), kita mendapatkan persamaan distribusi energi:

${\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}$

Karena energi yang sebanding dengan jumlah kuadrat dari tiga komponen momentum yang terdistribusi normal, distribusi ini adalah distribusi gamma dan distribusi chi-kuadrat dengan tiga derajat kebebasan.

Pada teorema equipartisi, energi ini dibagi rata di antara ketiga derajat kebebasan, sehingga energi per derajat kebebasan yang didistribusikan sebagai distribusi chi-kuadrat memiliki satu derajat kebebasan:^[6]

${\displaystyle f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {\epsilon }{\pi kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon }$

dimana ${\displaystyle \epsilon }$ adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan. Misalnya, jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku, partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi pada teori specific heat gas.

Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis gas kuantum.

Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan f_v sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$

dengan menggunakan p = mv maka kita mendapatkan

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }$

yang merupakan distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann. Probabilitas untuk menemukan partikel dengan vektor kecepatan dalam elemen yang sangat kecil [dv_x, dv_y, dv_z] dengan vektor kecepatan v = [v_x, v_y, v_z] adalah

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$

Seperti momentum, distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen terdistribusi normal yaitu ${\displaystyle v_{x}}$, ${\displaystyle v_{y}}$, and ${\displaystyle v_{z}}$, namun dengan variansi ${\displaystyle {\frac {kT}{m}}}$. Hal ini dapat juga menunjukkan bahwa distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk vektor kecepatan [v_x, v_y, v_z] adalah produk dari distribusi untuk masing-masing arah:

${\displaystyle f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

dimana distribusi untuk satu arah adalah

${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }$

Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki distribusi normal dengan rata-rata ${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ dan standar deviasi ${\displaystyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata ${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }}$ dan standar deviasi ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {v} }={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}}$.

Biasanya, kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan, di atas. Perhatikan bahwa kecepatan adalah

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

dan kenaikan volumenya sebesar

${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \phi \,dv\,d\theta \,d\phi }$

dimana ${\displaystyle \theta }$ dan ${\displaystyle \phi }$ adalah "arah" (azimut dari vector kecepatan) dan "path angle" (elevasi sudut dari vektor kecepatan). Integrasi vektor kecepatan dari fungsi densitas probabilitas normal di atas, selama berada di arah (dari 0 hingga ${\displaystyle 2\pi }$) dan path angle (dari 0 hingga ${\displaystyle \pi }$),dengan substitusi kecepatan untuk jumlah kuadrat komponen vektor, menghasilkan fungsi densitas probabilitas

${\displaystyle f(v)={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3}}}\,v^{2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)}$

untuk kecepatan. Persamaannya menjadi Maxwell distribution dengan parameter distribusi ${\displaystyle a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$.

Kita sering kali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata-rata partikel daripada distribusi sebenarnya. Kecepatan rata-rata, kecepatan yang paling mungkin (mode), dan akar kuadrat rata-rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell.

Kecepatan relatif diartikan sebagai ${\displaystyle u={v \over v_{p}}}$, dimana ${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$ adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul.

Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita sering kali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata-rata daripada distribusi keseluruhan.

Kecepatan yang paling mungkin, v_p, adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul (dengan massa yang sama m ) dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau mode dari f(v). Untuk menemukannya, kita menghitung df/dv, mengubahnya ke nol dan mencari nilai untuk v

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}$

sehingga dihasilkan:

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$

Dimana R adalah konstanta gas dan M = N_A m adalah massa molar dari molekul.

Untuk nitrogen diatomik (N₂, komponen utama dari udara) pada suhu kamar (300 K), hal ini menghasilkan

${\displaystyle v_{p}=422}$m/s

Kecepatan rata-rata adalah rata-rata matematika dari distribusi kecepatan

${\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}}$

Akar kuadrat rata-rata dari kecepatan, v_rms adalah akar kuadrat dari kecepatan kuadrat rata-rata:

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}}$

Typical speeds dihubungkan sebagai berikut:

${\displaystyle 0.886\langle v\rangle =v_{p}<\langle v\rangle <v_{\mathrm {rms} }=1.085\langle v\rangle .}$

Ketika suhu gas meningkat dan kT mendekati atau melewati mc², distribusi probabilitas untuk ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell–Juttner:^[7]

${\displaystyle f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)\qquad (11)}$

dimana ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}},}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},}$ dan ${\displaystyle K_{2}}$ adalah fungsi Bessel dari jenis kedua yang dimodifikasi.

Alternatif lainnya dapat juga ditulis dalam bentuk momentum sebagai berikut:

${\displaystyle f(p)={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta K_{2}(1/\theta )}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}\right)}$

dimana ${\displaystyle \gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}}$. Persamaan Maxwell-Juttner adalah kovarian, tetapi tidak dapat dibuktikan, dan temperatur gas tidak bervariasi dengan kecepatan total gas.^[8]

• Persamaan Boltzmann kuantum
• Statistika Maxwell–Boltzmann
• Distribusi Maxwell–Jüttner
• Distribusi Boltzmann
• Faktor Boltzmann
• Distribusi Rayleigh
• Teori kinetika gas

• Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
• Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3
• Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
• Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6
• Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40.
• Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14.

• (Inggris) "The Maxwell Speed Distribution" dari The Wolfram Demonstrations Project di Mathworld