Bilangan prima Wolstenholme

Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme (bahasa Inggris: Wolstenholme prime) merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 (barisan A088164 pada OEIS). Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10⁹.^[2]

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima ${\displaystyle p>7}$ yang memenuhi kekongruenan:$${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.}$$ Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial.^[3] Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima ${\displaystyle p>3}$, maka berlaku kekongruenan: $${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}$$

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima ${\displaystyle p}$ yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli ${\displaystyle B_{p-3}}$.^[4] Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima ${\displaystyle p}$ sehingga ${\displaystyle (p,p-3)}$ merupakan pasangan tak beraturan.^[5]

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima ${\displaystyle p}$ sehingga $${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}.}$$ Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik ${\displaystyle H_{p-1}}$ yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh ${\displaystyle p^{3}}$.^[6]

Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.^[7] Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993.^[8] Hingga mencapai 1.2×10⁷, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan.^[9] Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2×10⁸ oleh McIntosh 1995, dan Trevisan & Weber 2001 dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5×10⁸.^[10] Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada 10⁹.^[11]