Segitiga Kepler

Segitiga Kepler adalah segitiga siku-siku istimewa dengan panjang sisi dalam barisan geometri. Rasio dari barisan tersebut adalah ${\displaystyle \varphi }$, yang merupakan rasio emas yang memiliki nilai ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$, dan barisan tersebut dapat ditulis sebagai: ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, atau sekitar ${\displaystyle 1:1,272:1,618}$. Persegi-persegi dengan sisinya yang membentuk segitiga ini memiliki luas dalam barisan geometri lainnya, yaitu ${\displaystyle 1:\varphi :\varphi ^{2}}$. Definisi lain dari segitiga yang sama mencirikannya dalam tiga macam rata-rata Pythagoras dari dua bilangan, atau melalui jari-jari dalam dari segitiga sama kaki.

Segitiga ini dinamai dari Johannes Kepler, tetapi segitiga ini dapat ditemukan di sumber-sumber lainnya. Walaupun beberapa sumber mengklaim bahwa piramida Mesir kuno memiliki proporsi yang didasarkan pada segitiga Kepler, banyak ahli yang percaya bahwa matematika dan arsitektur Mesir masih belum mengetahui rasio emas.

Segitiga Kepler dinamai dari seorang matematikawan sekaligus astronom asal Jerman yang bernama Johannes Kepler (1571–1630), yang menulis bangun tersebut dalam makalahnya tahun 1597.^[1] Dua konsep yang digunakan untuk menganalisis segitiga ini, yaitu teorema Pythagoras dan rasio emas, membuat Kepler terpesona, sehingga ia mengatakan:

Geometri memiliki dua harta yang besar. Harta yang pertama adalah teorema Pythagoras, dan harta lainnya adalah pembagian garis menjadi rasio rata-rata dan ekstrim. Kita mula-mula dapat membandingkannya dengan massa emas, dan yang kedua kita menyebutnya permata berharga.^[2]

Sayangnya, Kepler bukanlah orang yang pertama kali yang menjelaskan segitiga ini.^[3] Kepler sendiri mengaitkannya dengan "seorang guru besar musik yang bernama Magirus".^[1] Segitiga yang sama juga ditemukan di beberapa buku milik matematikawan Arab Abû Bekr, yang berjudul Liber mensurationum. Buku ini dikenal dari abad ke-12, diterjemahkan oleh Gerard of Cremona ke dalam bahasa Latin. ^[3][4] Segitiga ini juga dapat ditemukan dalam karya Fibonacci yang berjudul Practica geometriae [it] yang diterbitkan sekitar tahun 1220 dan 1221, dan di dalam karya tersebut mendefinisikannya dengan cara yang sama seperti Kepler.^[3][5] Sebelum Kepler, Pedro Nunes menulis tentang segitiga ini pada tahun 1567, dan "kemungkinan bahwa segitiga tersebut sudah tersebar luas dalam tradisi manuskrip di abad pertengahan dan di zaman Reinsans".^[3] Sebelum Kepler juga, segitiga ini juga ditemukan kembali secara terus-menerus.^[1]

Menurut beberapa penulis, "piramid emas" dengan segitiga Kepler berganda yang dijadikan sebagai penampang lintasannya menggambarkan desain piramida Mesir seperti Piramida Giza. Pada teori ini, ada satu sumber milik ahli piramidologi John Taylor pada abad ke-19 yang isinya salah menginterpretasikan penjelasan Herodotus.^[6][7] Adapun banyak teori lain mengenai proporsisi diusulkan untuk piramida yang sama, tetapi tidak ada kaitannya dengan segitiga Kepler.^[1][6][8] Nilai-nilai numerik yang didapatkan pada teori-teori berbeda tersebut sangat mirip, dan oleh karena pengukurannya tidak akurat yang disebabkan karena sebagian permukaan luar piramida telah rusak. Akibatnya, teori-teori tersebut sulit untuk dipecahkan sebagaimana dengan sepenuhnya didasarkan pada bukti-bukti fisik.^[6][9] Kecocokan mengenai nilai-nilai proporsisi dengan segitiga Kepler hanya sekedar kebetulan. Menurut beberapa ahli yang pernah mengkaji kaitan tersebut, bangsa Mesir kuno sebagian besar tidak mengetahui penerapan rasio emas dalam bidang matematika dan arsitektur mereka.^{[1][8][10][11]} Malahan, proporsisi piramida yang digunakan hanya cukup dijelaskan menggunakan perbandingan bilangan bulat, yang didasarkan pada segitiga siku-siku yang sisi-sisiniya masing-masing 11 dan 14.^[1][6]

Nama "segitiga Kepler" (Kepler triangle) untuk segitiga tersebut berasal dari surat Kepler pada tahun 1597. Nama itu digunakan oleh Roger Herz-Fischler pada awal 1979.^[7] Nama lainnya adalah "triangle of Price" yang dinamai dari ahli piramidologi W. A. Price, dipakai oleh Matila Ghyka dalam bukunya tentang rasio emas pada tahun 1946, yang berjudul The Geometry of Art and Life.^[12]

Segitiga Kepler didefinisikan dengan sifat-sifat yang mengharuskannya berupa segitiga siku-siku dan juga memiliki panjang sisi panjang sisinya dalam barisan geometri, atau memiliki persegi dengan sisinya dalam barisan geometri. Rasio dari barisan sisi tersebut adalah ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$, dengan ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ adalah rasio emas, dan barisan geometri tersebut dapat ditulis: ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, atau kira-kira sama dengan 1 : 1,272 : 1,618. Persegi pada sisi segitiga tersebut memiliki luas dalam barisan geometri lain, yaitu ${\displaystyle 1:\varphi :\varphi ^{2}}$. Terlebih lagi, segitiga dengan proporsisi tersebut merupakan segitiga siku-siku, yang juga mengikuti bahwa, untuk panjang sisi yang dikuadratkan dengan proporsisi tersebut, polinomial dari rasio emas yang didefinisikan itu sama saja dengan rumus yang dinyatakan dalam bentuk teorema Pythagoras untuk panjang sisi terkuadrat dari segitiga siku-siku:$${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1.}$$Karena persamaan ini berlaku benar untuk rasio emas, ketiga panjang sisi tersebut mematuhi teorema Pythagoras, dan membentuk segitiga siku-siku. Sebaliknya, di sebarang segitiga siku-siku yang panjang sisi yang dikuadratkan itu berupa barisan geometri dengan sebarang rasio ${\displaystyle \rho }$, teorema Pythagoras menyiratkan bahwa rasio tersebut memenuhi identitas ${\displaystyle \rho ^{2}=\rho +1}$. Dengan demikian, rasio tersebut pastinya merupakan solusi tunggal yang bernilai positif untuk persamaannya, yaitu rasio emas, dan segitiga pastinya sebuah segitiga Kepler.^[1]

Tiga panjang sisi ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ and ${\displaystyle \varphi }$ masing-masing rataan harmonik, rataan geometri, dan rataan aritmetika, dari dua bilangan ${\displaystyle \varphi \pm 1}$.^[13][14] Ketiga cara menggabungkan kedua bilangan ini dikaji di dalam matematika Yunani kuno, dan mereka dikenal dengan sebutan rataan Pythagoras.^[15] Berlaku sebaliknya, hal tersebut juga dipandang sebagai definisi alternatif segitiga Kepler, yang menjelaskan bahwa segitiga Kepler didefinisikan sebagai sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisinya merupakan tiga rataan Pythagoras dari setiap dua bilangan. Satu-satunya segitiga yang memenuhi hal tersebut adalah segitiga Kepler.^[13][14]

Selain itu, cara ekuivalen yang mendefinisikan segitiga Kepler dapat dikaji dari masalah mengenai memaksimalkan jari-jari dalam dari segitiga sama kaki. Di antara semua segitiga sama kaki dengan pilihan panjang dua sisi yang sama tetap bernilai konstan, tetapi panjang alasnya yang berubah-ubah, segitiga itu dengan jari-jari dalam terbesar dibentuk dari dua salinan segitiga Kepler, yang dicermin di sepanjang sisi-sisi panjangnya dari satu sama lain. Karena itu, segitiga Kepler dapat didefinisikan sebagai segitiga siku-siku, yang dengan cerminannya, membentuk segitiga sama kaki yang memiliki jari-jari dalam maksimal di antara semua segitiga siku-siku yang sama panjang sisi miringnya.^[16] Cerminan yang sama juga membentuk segitiga sama kaki yang mengandung semilingkaran terbesar mungkin untuk keliling yang diketahui.^[17]

Jka sisi pendek dari suatu segitiga Kepler triangle memiliki panjang ${\displaystyle s}$, maka sisi lainnya memiliki panjang ${\displaystyle s{\sqrt {\varphi }}}$ dan ${\displaystyle s\varphi }$. Luas dari segitiga Kepler dapat dihitung dengan menggunakan rumus umum dari luas segitiga siku-siku, yaitu setengah dari perkalian antara dua sisi pendek, ${\displaystyle {\tfrac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$. Kosinus dari dua sudut bukan siku-siku yang besar merupakan rasio dari sisi (yang keduanya pendek) yang berdampingan dengan sisi miring segitiga ${\displaystyle \varphi }$. Dari sini didapati bahwa dua sudut yang bukan siku-siku dirumuskan sebagai^[1]$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }}$$dan$${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.}$$

Jerzy Kocik mengamati bahwa dua sudut tersebut yang besar juga merupakan sudut yang dibentuk oleh pusat dari tiga pasang lingkaran yang berturut-turut di dalam barisan loksodromik lingkaran singgung Coxeter.^[18]

• Segitiga automedian, segitiga yang panjang sisi terkuadratnya membentuk sebuah barisan aritmetika, yang mencakup segitiga siku-siku yang panjang sisinya ${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}}$.
• Segitiga emas, sebuah segitiga sama kaki yang rasio antara panjang alas dengan panjang sisinya berupa rasio emas.

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Kepler triangle.

Artikel bertopik geometri ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s