Persamaan pertumbuhan retak

Persamaan pertumbuhan retak (bahasa Inggris: crack growth equation) digunakan untuk menghitung ukuran dari pertumbuhan retak lelah dari beban berulang. Pertumbuhan retak lelah ini dapat berdampak pada kegagalan besar, khususnya pada kendaraan udara. Persamaan pertumbuhan retak dapat digunakan untuk memastikan keamaan, saat fase desain maupun operasi, dengan memprediksi ukuran retakan. Pada struktur yang kritis, beban dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi retakan dan memastikan pemeliharaan atau pemensiunan dilakukan sebelum retakan tersebut menyebabkan bencana. Faktor keamanan digunakan untuk mengurangi umur lelah yang diprediksi karena adanya variabel antara beban yang diasumsikan dengan beban nyata yang dialami oleh komponen.

Umur lelah dapat dibagi menjadi periode inisiasi dan periode pertumbuhan retak.^[1] Persamaan pertuumbuhan retak digunakan untuk memprediksi ukuran retak dari retakan awal dan biasanya didasarkan pada data eksperimen yang didapatkan dari percobaan lelah [en] dengan amplitudo yang konstan.

Salah satu persamaan pertumbuhan retak didasarkan pada rentan faktor intensitas tegangan terhadap siklus beban (${\displaystyle \Delta K}$) adalah persamaan Paris-Erdogan:^[2]

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

dengan ${\displaystyle a}$ adalah panjang retak dan ${\displaystyle da/dN}$ adalah pertumbuhan retak lelah untuk satu siklus beban ${\displaystyle N}$. Variasi dari persamaan pertumbuhan retak yang mirip dengan persamaan Paris–Erdogan telah dikembangkan untuk memasukkan beberapa faktor yang berefek pada tingkat pertumbuhan retak seperti rasio tegangan, beban lebih, dan efek riwayat beban.

Rentan intensitas tegangan dapat dihitung pada intensitas tegangan maksimum dan minimum pada suatu siklus:

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

Sebuah faktor geometri ${\displaystyle \beta }$ digunakan untuk menghubungkan tegangan medan jauh ${\displaystyle \sigma }$ pada intensitas tegangan ujung retak menggunakan:

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$.

Terdapat beberapa referensi standar yang berisi faktor geometri untuk banyak konfigurasi yang berbeda.^[3][4][5]

Gambar 1 memperlihatkan plot umum dari tingkat pertumbuhan retak sebagai fungsi dari intensitas tegangan bolak-balik atau gaya pada ujung retak ${\displaystyle \Delta K}$ yang diplot pada skala log. Perilaku tingkat pertumbuhan retak dapat dijelaskan dalam beberapa rezim (lihat Gambar 1), seperti berikut.

Rezim A: Pada tingkat pertumbuhan yang rendah, variasi tegangan rerata mikrostruktur (atau rasio beban), dan lingkungannya memiliki efek signifikan terhadap tingkat pertumbuhan retak. Teramati bahwa pada rasio beban rendah, tingkat pertumbuhan retak lebih sensitif pada mikrostruktur dan material kekuatan rendah lebih sensitif pada rasio beban.^[6]

Rezim B: Pada tingkat pertumbuhan tengah, variasi dari mikrostruktur, tegangan rerata (atau rasio beban), lebar, dan lingkungan tidak memiliki efek yang signifikan terhadap tingkat perambatan retak.

Rezim C: Pada tingkat pertumbuhan tinggi, perambatan retak sangat sensitif terhadap variasi mikrostruktur, tegangan rerata (atau rasio beban), dan lebar. Efek lingkungan memiliki efek yang lebih kecil.

Siklus dengan rasio tegangan ${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$ yang lebih tinggi memiliki tingkat pertumbuhan retak yang meningkat.^[7] Efek ini biasanya sering dijelaskan dengan konsep penutupan retak [en] yang mendeskripsikan pengamatan bahwa permukaan retak dapat tetap dalam kontak satu dengan yang lain pada beban di atas nol. Hal ini mengurangi rentan faktor intensitas tegangan efektif dan tingkat pertumbuhan retak lelah.^[8]

Persamaan ${\displaystyle da/dN}$ memberikan tingkat pertumbuhan dari satu siklus, tapi ketika beban tidak memiliki amplitudo yang konstan, perubahan beban dapat berujung pada peningkatan atau pengurangan sementara terhadap tingkat pertumbuhan. Tambahan persamaan telah dikembangkan untuk menangani kasus seperti itu. Tingkat pertumbuhan menurun ketika beban lebih muncul pada urutan beban. Beban tersebut tercipta oleh zona plastik yang dapat menunda tingkat pertumbuhan. Dua persamaan untuk memodelkan penundaan tersebut adalah model Willenborg (1971) dan model Wheeler (1972).^[9]

Model Willenborg (1971)^[10]

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C_{F}{\frac {\left(\Delta K_{\text{eff}}\right)^{m_{F}}}{\left(1-R_{\text{eff}}\right)K_{C}-\Delta K_{\text{eff}}}}}$ dengan ${\displaystyle R_{\text{eff}}={\frac {K_{\text{min,eff}}}{K_{\text{max,eff}}}}}$

dengan ${\displaystyle C_{F}}$ dan ${\displaystyle m_{F}}$ adalah variabel kalibrasi yang didapatkan dari amplitudo beban, ${\displaystyle K_{C}}$ adalah faktor intensitas beban kritis, dan ${\displaystyle R_{\text{eff}}}$ adalah rasio beban efektif.^[11]

Model Wheeler (1972)^[12]

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$ dengan ${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

dengan ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$ adalah zona plastik pada siklus ke-${\displaystyle i}$ yang muncul setelah beban lebih dan ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ adalah jarak antara retak dan meluas ke zona plastis pada beban berlebih.

Untuk memprediksi tingkat pertumbuhan retak dekat area ambang batas, relasi berikut telah digunakan.^[13]

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

Untuk memprediksi tingkat pertumbuhan retak di area menengah, persamaan Paris–Erdoğan yang digunakan.^[2]

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

Pada 1967, Forman mengusulkan relasi berikut untuk memperhitungkan pertumbuhan tingkat pertumbuhan oleh karena rasio tegangan dan ketika mendekati kekuatan fraktur [en] ${\displaystyle K_{\text{C}}}$^[14]

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

McEvily dan Groeger^[15] mengusulkan relasi hukum daya berikut yang memasukkan efek dari nilai tinggi dan rendah dari ${\displaystyle \Delta K}$.

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$.

Persamaan NASGRO digunakan pada program pertumbuhan retak AFGROW, FASTRAN, dan perangkat lunak NASGRO.^[16] Persamaan ini adalah persamaan umum yang mencakup tingkat pertumbuhan rendah dekat ambang batas ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ dan peningkatan tingkat pertumbuhan mendekati kekuatan fraktur ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$. Selain itu persamaan ini juga memperbolehkan efek tegangan rerata dengan memasukkan rasio tegangan ${\displaystyle R}$. Persamaan NASGRO adalah sebagai berikut.

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

dengan ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ dan ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$ adalah koefisien persamaan.

Pada 1967, McClintock mengembangkan sebuah persamaan untuk batas atas dari pertumbuhan retak berdasarkan siklus perpindahan bukaan ujung retak [en]${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$:^[17]

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

dengan ${\displaystyle \sigma _{0}}$ adalah aliran tegangan, ${\displaystyle E'}$ adalah modulus Young dan ${\displaystyle \beta }$ adalah konstanta yang memiliki nilai tipikal pada rentan 0,1-0,5.

Untuk memperhitungkan efek rasio tegangan, Walker menyarankan untuk mengubah bentuk dari persamaan Paris–Erdoğan:^[18]

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

dengan, ${\displaystyle \gamma }$ adalah parameter material yang merepresentasikan pengaruh dari rasio tegangan pada tingkat pertumbuhan retak lelah. Biasanya, ${\displaystyle \gamma }$ memiliki nilai sekitar ${\displaystyle 0,5}$, tapi nilai ini dapat berada pada rentan ${\displaystyle 0,3-1,0}$. Secara umum, diasumsikan bahwa porsi tekan pada siklus beban ${\displaystyle \left(R<0\right)}$ tidak memiliki efek pada pertumbuhan retak dengan mempertimbangkan ${\displaystyle \gamma =0}$, yang memberikan ${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}}$. Hal ini dapat dijelaskan secara fisika dengan mempertimbangkan bahwa retak tertutup pada beban nol dan tidak berlaku seperti retakan pada beban tekan. Pada material yang sangat ulet, seperti besi Man-Ten, beban tekan berkontribusi pada pertumbuhan retak, berdasarkan ${\displaystyle \gamma =0,22}$.^[19]

Elber memodifikasi persamaan Paris–Erdoğan untuk memperbolehkan penutupan retakan dengan memasukkan sebuat level intensitas tegangan bukaan ${\displaystyle K_{\text{op}}}$ ketika kontak muncul. Di bawah level ini tidak terdapat pergerakan pada ujung retak dan maka tidak ada pertumbuhan. Efek ini telah digunakan untuk menjelaskan efek rasio tegangan dan peningkatan tingkat pertumbuhan pada retakan pendek. Persamaan Elber adalah:^[9]

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

Bentuk umum dari tingkat pertumbuhan retak lelah pada material ulet dan getas adalah:^[17]

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

dengan, ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle p}$ adalah parameter material. Berdasarkan mekanisme retak-maju dan pelindung ujung retak pada logam, keramik, dan antarlogam, diamati bahwa tingkat pertumbuhan retak lelah pada logam bergantung secara signifikan terhadap ${\displaystyle \Delta K}$, di keramik pada ${\displaystyle K_{\text{max}}}$, dan pada antarlogam bergantung secara serupa pada ${\displaystyle \Delta K}$ dan ${\displaystyle K_{\text{max}}}$.

• Forman, R. G.; Shivakumar, V.; Cardinal, J. W.; Williams, L. C.; McKeighan, P. C. (2005). "Fatigue Crack Growth Database for Damage Tolerance Analysis" (PDF). FAA. Diakses tanggal 6 July 2019. 
• Gallagher, J. P.; Giessler, F. J.; Berens, A. P.; Engle, Jr, J. M. "USAF Damage Tolerant Design Handbook: Guidelines for the Analysis and Design of Damage Tolerant Aircraft Structures. Revision B". Diarsipkan dari versi asli tanggal 9 July 2019. Diakses tanggal 9 July 2019.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• "Damage Tolerance Assessment Handbook Volume I: Introduction, Fracture Mechanics, Fatigue Crack Propagation" (PDF). Federal Aviation Administration. 1993. Diakses tanggal 16 July 2019.