Perkalian titik

Perkalian titik ^[1] (bahasa Inggris: dot product, bahasa Inggris: scalar product) (juga disebut darab skalar, produk dot, darab bintik, produk skalar, atau "produk dalam" dalam konteks ruang Euclid) dalam matematika adalah suatu operasi aljabar yang memasukkan dua urutan bilangan dengan panjang yang sama (biasanya vektor koordinat) dan menghasilkan suatu bilangan tunggal. Operasi ini dapat didefinisikan menurut aljabar maupun geometri. Menurut aljabar, produk skalar merupakan jumlah dari produk-produk masukan yang bersangkutan dari bilangan-bilangan pada dua urutan tersebut. Menurut geometri, produk skalar adalah produk dari "besaran Euclidean" atau "panjang vektor" dua vektor dan kosinus sudut di antara keduanya. Nama "produk dot" diambil dari tanda dot, yaitu "tanda titik di tengah", " · " yang sering digunakan untuk melambangkan operasi ini; nama "produk skalar" menekankan sifat skalar hasilnya (bukan vektorial).

Dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dikontraskan dengan perkalian silang (en: cross product) dua vektor, yang menghasilkan suatu pseudovector. Produk skalar berkaitan langsung dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang Euclidean dari seberapapun banyaknya dimensi.

Perkalian titik sering didefinisikan menurut satu dari dua cara: menurut aljabar atau menurut geometri. Definisi geometris didasarkan pada pengertian sudut dan jarak (besaran vektor). Persamaan dua definisi ini bergantung pada memiliki sistem koordinat Kartesius untuk ruang Euklides.

Dalam presentasi modern geometri Euclidean, titik-titik ruang ditentukan berdasarkan koordinat Cartesiannya, dan ruang Euclidean itu sendiri umumnya diidentifikasikan dengan ruang kordinat nyata Rⁿ. Dalam presentasi seperti itu, pengertian panjang dan sudut tidaklah primitif. Mereka ditentukan melalui perkalian titik: panjang vektor didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali titik vektor itu sendiri, dan kosinus dari (tidak berorientasi) sudut dua vektor dengan panjang satu didefinisikan sebagai perkalian titik mereka. Jadi kesetaraan dari dua definisi hasil perkalian titik adalah bagian dari kesetaraan klasik dan formulasi modern geometri Euklides.

Produk skalar dua vektor A = [A₁, A₂, ..., A_n] dan B = [B₁, B₂, ..., B_n] didefinisikan sebagai:^[2]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}}$

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$

Dalam ruang Euclidean, suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$. Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai^[3]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.}$

Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|}$

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

yang menghasilkan

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar.^[2][3]

1. Komutatif:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$

   which follows from the definition (θ is the angle between a and b):

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$

2. Distributif over vector addition:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$

3. Bilinear:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$

4. Perkalian skalar:

   ${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

5. Ortogonal:

   Dua vektor bukan-nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika a ⋅ b = 0.

6. Tidak ada cancellation:

   Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika ab = ac, maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol, produk skalar tidak menuruti cancellation law:

   Jika a ⋅ b = a ⋅ c dan a ≠ 0, maka dapat ditulis: a ⋅ (b − c) = 0 dengan hukum distributif; hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan (b − c), di mana masih mengizinkan (b − c) ≠ 0, sehingga b ≠ c.

7. Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari a ⋅ b adalah a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Produk skalar antar suatu tensor pada ordo n dan suatu tensor pada ordo m adalah tensor pada ordo n + m − 2

• Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
• Perkalian matriks
• Perkalian silang
• Perkalian skalar
• Perkalian vektor

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inner product", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W. "Dot product". MathWorld. 
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Templat:Linear algebra