Paradoks gagak

Seekor gagak hitam

Non-hitam
non-gagak

Paradoks gagak menunjukkan bahwa kedua gambar ini memberi kontribusi pada bukti dari anggapan bahwa semua burung gagak berwarna hitam.

Paradoks gagak, atau Paradoks Hempel, Gagak Hempel, atau paradoks ornitologi dalam,^[1] adalah sebuah paradoks yang muncul dari pertanyaan apa yang membenarkan bukti dari sebuah pernyataan. Mengamati benda-benda bukan hitam dan bukan gagak dapat meningkatkan kemungkinan bahwa semua burung gagak berwarna hitam meskipun secara intuitif, pengamatan ini tidak terkait.

Masalah ini diajukan oleh ahli logika Carl Gustav Hempel pada tahun 1940-an untuk menggambarkan kontradiksi antara logika induktif dan intuisi.^[2]

Hempel menggambarkan paradoks ini dalam term hipotesis:^[3][4]

(1) Semua gagak hitam.

Melalui kontraposisi, pernyataan ini ekuivalen dengan:

(2) Jika ada sesuatu yang tidak hitam, maka itu bukan gagak.

Dalam semua situasi di mana (2) benar, (1) juga benar—dan juga, dalam semua situasi di mana (2) salah (yaitu, jika dibayangkan sebuah dunia dimana tidak ada sesuatu yang berwarna hitam, tetapi ada gagak), (1) juga salah.

Dengan pernyataan umum seperti semua gagak berwarna hitam, sebuah bentuk pernyataan serupa yang mengacu pada contoh spesifik dari kelas umum biasanya dianggap sebagai bukti untuk pernyataan umum tersebut. Sebagai contoh,

(3) Burung gagak peliharaan saya tak lagi hitam

adalah bukti pendukung hipotesis bahwa semua gagak berwarna hitam.

Paradoks muncul saat proses yang sama diterapkan pada pernyataan (2). Saat melihat apel hijau, seseorang dapat mengamati:

(4) Apel hijau ini tidak hitam, dan bukan gagak.

Dengan penalaran serupa, pernyataan ini adalah bukti bahwa (2) jika ada sesuatu yang tidak hitam maka itu bukan seekor gagak. Tapi karena (seperti di atas) pernyataan ini secara logis setara dengan (1) semua gagak berwarna hitam, maka hasil pengamatan apel hijau adalah bukti yang mendukung gagasan bahwa semua burung gagak berwarna hitam. Kesimpulan ini tampaknya paradoks, karena menyiratkan bahwa informasi tentang gagak bisa diperoleh dengan melihat apel.

Postulat Nicod menyatakan bahwa seharusnya hanya pengamatan burung gagak yang mempengaruhi pandangan seseorang tentang apakah semua gagak itu hitam. Mengamati lebih banyak contoh gagak hitam harus mendukung pandangan tersebut, mengamati gagak berwarna putih atau berwarna lain selain hitam harus membantahnya, dan pengamatan non-gagak tidak akan berpengaruh.^[5]

Kondisi kesetaraan Hempel menyatakan bahwa ketika sebuah proposisi, X, memberikan bukti yang mendukung proposisi lain Y, maka X juga memberikan bukti yang mendukung proposisi apapun yang secara logis setara dengan Y.^[6]

Secara realistis, himpunan gagak itu terbatas. Himpunan barang non-hitam tidak terbatas atau diluar penghitungan manusia. Untuk mengkonfirmasi pernyataan 'Semua burung gagak itu hitam', perlu mengamati semua burung gagak. Ini sulit tapi mungkin. Untuk mengkonfirmasi pernyataan 'Semua benda non-hitam itu bukan gagak', perlu untuk memeriksa semua hal yang tidak hitam. Ini tidak mungkin. Mengamati seekor burung gagak hitam bisa dianggap sebagai bukti konfirmasi yang terbatas, namun mengamati seekor burung gagak yang tidak hitam akan menjadi bukti infinitesimal.

Paradoks tersebut menunjukkan bahwa kriteria Nicod dan kondisi kesetaraan Hempel tidak saling konsisten. Sebuah resolusi untuk paradoks harus menolak setidaknya salah satu dari:^[7]

1. kejadian negatif tidak berpengaruh (!PC),
2. kondisi ekuivalen (EC), atau,
3. validasi dengan contoh positif (NC).

Resolusi yang memuaskan juga harus menjelaskan mengapa secara naif hal ini tampak menjadi paradoks. Solusi yang menerima kesimpulan paradoks dapat melakukan hal ini dengan menghadirkan sebuah proposisi yang secara intuitif kita ketahui salah, tapi mudah dicampuradukan dengan (PC), sementara solusi yang menolak (EC) atau (NC) harus menyajikan sebuah proposisi yang secara intuitif kita ketahui akan menjadi benar tapi itu mudah dicampuradukan dengan (EC) atau (NC).

Meskipun kesimpulan paradoks ini tampaknya kontra-intuitif, beberapa pendekatan menerima bahwa pengamatan terhadap non-gagak (berwarna) sebenarnya bisa merupakan bukti yang benar untuk mendukung hipotesis mengenai (kehitaman universal) burung gagak.

Hempel sendiri menerima kesimpulan paradoks tersebut, dengan penalaran bahwa alasan mengapa hasilnya tampak paradoks adalah karena kita memiliki informasi sebelumnya yang dengannya (informasi itu) pengamatan non-gagak dan non-hitam memang akan memberi bukti bahwa semua burung gagak itu berwarna hitam.

Dia menggambarkan hal ini dengan contoh generalisasi "Semua garam natrium terbakar dengan api kuning," dan meminta kita untuk mempertimbangkan pengamatan yang terjadi saat seseorang memegang sebatang es murni dengan api tidak berwarna yang tidak menjadi kuning:^[3]:19–20

Hasil ini akan mengkonfirmasi penegasan, "Apapun yang tidak terbakar kuning bukanlah garam natrium," dan akibatnya, berdasarkan kondisi ekuivalen, ia akan mengkonfirmasi formulasi aslinya. Mengapa hal ini membuat kita terkesan bahwa ini paradoks? Alasannya menjadi jelas ketika kita membandingkan situasi sebelumnya dengan kasus percobaan dimana benda yang konstitusi kimianya belum diketahui kita dipegang dalam nyala api dan api tidak berubah menjadi kuning, dan jika analisis selanjutnya menunjukkan bahwa tidak mengandung garam natrium. Hasil ini, kita pasti tidak setuju, adalah apa yang diharapkan berdasarkan hipotesis ... sehingga data yang diperoleh di sini merupakan bukti konfirmasi untuk hipotesis tersebut. ... Dalam kasus konfirmasi yang tampaknya paradoks, kita sering tidak benar-benar menilai hubungan bukti yang diberikan, E sendiri terhadap hipotesis H ... kita diam-diam memperkenalkan perbandingan H dengan bukti yang terdiri dari E bersamaan dengan sejumlah tambahan informasi yang kebetukan kita miliki; Dalam ilustrasi kami, informasi ini mencakup pengetahuan (1) bahwa zat yang digunakan dalam percobaan adalah es, dan (2) bahwa es tidak mengandung garam natrium. Jika kita menganggap informasi tambahan ini seperti yang diberikan, maka, tentu saja, hasil percobaan tidak dapat menambah kekuatan hipotesis yang sedang dipertimbangkan. Tapi jika kita berhati-hati untuk menghindari referensi diam-diam ini terhadap pengetahuan tambahan ... paradoksnya lenyap.

Salah satu usulan penyelesaian yang paling populer adalah menerima kesimpulan bahwa pengamatan apel hijau memberikan bukti bahwa semua burung gagak berwarna hitam. Solusi ini juga untuk membuktikan bahwa jumlah konfirmasi yang diberikan sangat kecil, karena perbedaan besar antara jumlah gagak dan jumlah benda non-hitam. Menurut penyelesaian ini, kesimpulan akan tampak paradoks karena kita secara intuitif memperkirakan jumlah bukti yang diberikan oleh pengamatan apel hijau menjadi nol, padahal sebenarnya tidak nol tetapi sangat kecil.

Presentasi I. J. Good dari argumen ini pada tahun 1960^[8] mungkin yang paling dikenal, dan variasi argumen ini telah populer sejak saat itu,^[9] meskipun sebenarnya telah dipresentasikan pada 1958^[10] dan bentuk awal dari argumen ini telah muncul jauh lebih awal lagi, yaitu tahun 1940.^[11]

Argumen Good melibatkan perhitungan bobot bukti yang disediakan oleh pengamatan gagak hitam atau sepatu putih yang mendukung hipotesis bahwa semua gagak dalam sekumpulan objek tersebut berwarna hitam. Bobot bukti tersebut merupakan algoritme dari Faktor Bayes, yang dalam kasus ini hanyalah faktor dimana peluang hipotesis berubah saat observasi dilakukan. Argumennya adalah sebagai berikut:

... misalkan ada ${\displaystyle N}$ objek yang bisa dilihat kapan saja, dimana ${\displaystyle r}$ adalah gagak dan ${\displaystyle b}$ adalah hitam, dan masing-masing ${\displaystyle N}$ objek memiliki probabilitas ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ untuk terlihat. Asumsikan bahwa ${\displaystyle H_{i}}$ adalah hipotesis dimana ${\displaystyle i}$ gagak non-hitam, dan anggaplah bahwa hipotesis ${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$ awalnya memiliki probabilitas setara. Lalu, jika kita melihat gagak hitam, faktor Bayes yang mendukung ${\displaystyle H_{0}}$ adalah

${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$

yaitu sekitar 2 jika jumlah gagak diketahui cukup besar. Akan tetapi, faktor jika kita melihat sepatu putih itu hanya

${\displaystyle {\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)}$

${\displaystyle \ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}}$

dan ini melebihi penyatuan yang hanya sekitar ${\displaystyle r/(2N-2b)}$ jika ${\displaystyle N-b}$ lebih besar daripada ${\displaystyle r}$. Dengan demikian bobot bukti yang diberikan dengan melihat sepatu putih itu positif, namun kecil jika jumlah gagak diketahui jauh lebih kecil dibandingkan dengan jumlah benda non-hitam.^[12]

Banyak pendukung resolusi dan varian ini telah menjadi pendukung probabilitas Bayesian. Solusi ini sekarang sering disebut Solusi Bayesian, walaupun Chihara^[13] mengamati bahwa, "tidak ada yang namanya solusi Bayesian. Ada banyak 'solusi' berbeda yang telah diajukan, Bayesian mengemukakannya menggunakan teknik Bayesian." Pendekatan yang patut diperhatikan dengan menggunakan teknik Bayesian antara lain Earman,^[14] Eells,^[15] Gibson,^[16] Hosiasson-Lindenbaum,^[17] Howson dan Urbach,^[18] Mackie,^[19] dan Hintikka,^[20] yang mengklaim bahwa pendekatannya "lebih Bayesian daripada apa yang disebut 'solusi Bayesian' dari paradoks serupa". Pendekatan Bayesian yang memanfaatkan teori inferensi induktif Carnap antara lain Humburg,^[21] Maher,^[22] dan Fitelson et al.^[23] Sementara itu Vranas^[24] memperkenalkan istilah "Penyelesaian Standar Bayesian" untuk menghindari kebingungan.

Maher^[25] menerima kesimpulan paradoks, dan menyempurnakannya:

Objek non-gagak (dengan warna apapun) menegaskan bahwa semua burung gagak berwarna hitam karena

(i) informasi bahwa objek ini bukan gagak menghilangkan kemungkinan bahwa objek ini adalah contoh yang berlawanan dengan generalisasi, dan

(ii) Ini mengurangi kemungkinan bahwa objek yang tidak teramati adalah gagak, sehingga mengurangi kemungkinan bahwa mereka adalah contoh yang berlawanan dengan generalisasi.

Untuk mencapai (ii), dia mengajukan banding atas teori probabilitas induktif Carnap, yaitu (dari sudut pandang Bayesian) suatu cara untuk menetapkan probabilitas sebelumnya yang secara alami menerapkan induksi. Menurut teori Carnap, probabilitas posterior, ${\displaystyle P(Fa|E)}$, yang merupakan objek, ${\displaystyle a}$, dan akan mempunyai predikat, ${\displaystyle F}$, setelah bukti ${\displaystyle E}$ telah diamati, adalah:

${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$

dimana ${\displaystyle P(Fa)}$ adalah probabilitas awal bahwa ${\displaystyle a}$ memiliki predikat ${\displaystyle F}$; ${\displaystyle n}$ adalah jumlah benda yang telah diperiksa (menurut bukti ${\displaystyle E}$ yang ada); ${\displaystyle n_{F}}$ adalah jumlah objek yang diperiksa yang ternyata memiliki predikat ${\displaystyle F}$, dan ${\displaystyle \lambda }$ adalah konstanta yang mengukur ketahanan terhadap generalisasi.

Jika ${\displaystyle \lambda }$ mendekati nol, ${\displaystyle P(Fa|E)}$ akan sangat dekat dengan satu setelah pengamatan tunggal dari objek yang ternyata memiliki predikat ${\displaystyle F}$, dimana jika ${\displaystyle \lambda }$ jauh lebih besar dari ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle P(Fa|E)}$ akan sangat dekat dengan ${\displaystyle P(Fa)}$ terlepas dari pecahan objek yang diamati yang memiliki predikat ${\displaystyle F}$.

Dengan menggunakan pendekatan Carnapian ini, Maher mengidentifikasi sebuah proposisi yang secara intuitif (dan benar) kita ketahui salah, tapi mudah dibingungkan dengan kesimpulan paradoks. Proposisi yang dimaksud adalah bahwa mengamati non-gagak memberi tahu kita tentang warna burung gagak. Meskipun ini salah secara intuitif dan juga salah menurut teori induksi Carnap, mengamati non-gagak (sesuai dengan teori yang sama) menyebabkan kita mengurangi perkiraan jumlah keseluruhan burung gagak, dan dengan demikian mengurangi perkiraan jumlah kemungkinan contoh sebaliknya untuk pernyataan bahwa semua gagak berwarna hitam.

Oleh karena itu, dari sudut pandang Bayesian-Carnapian, pengamatan seekor burung gagak tidak memberi tahu kita apa-apa tentang warna gagak, tapi memberi tahu kita tentang prevalensi burung gagak, dan mendukung "Semua burung gagak itu hitam" dengan mengurangi perkiraan jumlah gagak yang mungkin tidak hitam.

Sebagian besar pembahasan tentang paradoks pada umumnya dan pendekatan Bayesian secara khusus berpusat pada relevansi latar belakang pengetahuan. Anehnya, Maher^[25] menunjukkan bahwa, untuk kelas besar kemungkinan konfigurasi latar belakang pengetahuan, pengamatan non-hitam non-gagak menyediakan jumlah konfirmasi yang sama persis dengan jumlah pengamatan gagak hitam. Konfigurasi pengetahuan latar belakang yang ia maksud adalah yang disediakan oleh proposisi sampel, yaitu proposisi yang merupakan konjungsi dari proposisi atom, yang masing-masing dianggap sebagai predikat tunggal untuk satu individu, tanpa dua proposisi atom yang melibatkan individu yang sama. Dengan demikian, proposisi dari bentuk "A adalah gagak hitam dan B adalah sepatu putih" dapat dianggap sebagai proposisi sampel dengan mengambil "gagak hitam" dan "sepatu putih" menjadi predikat.

Bukti Maher tampaknya bertentangan dengan hasil argumen Bayesian, yaitu bahwa pengamatan non-hitam non-gagak memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Alasannya adalah bahwa latar belakang pengetahuan yang baik dan orang lain gunakan tidak dapat diungkapkan dalam bentuk proposisi sampel – khususnya, varian dari pendekatan standar Bayesian sering mengandaikan (seperti yang Good lakukan dalam argumen yang dikutip di atas) bahwa jumlah total gagak, benda-benda non-hitam dan/atau jumlah objek, adalah kuantitas yang diketahui. Maher berkomentar bahwa, "Alasan kita berpikir ada lebih banyak benda-benda bukan hitam daripada gagak adalah karena itu telah benar dari hal-hal yang telah kita amati sampai saat ini. Bukti semacam ini dapat diwakili oleh proposisi sampel. Tapi ... diberikan proposisi sampel apa pun sebagai bukti latar belakang, non-hitam non-gagak menegaskan A sama kuatnya dengan gagak hitam ... Jadi analisis saya menunjukkan bahwa respons terhadap paradoks [yaitu Standar Bayesian] tidak bisa benar."

memeriksa kondisi di mana pengamatan non-hitam non-gagak memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Mereka menunjukkan bahwa, jika ${\displaystyle a}$ adalah objek yang dipilih secara acak, ${\displaystyle Ba}$ adalah proposisi bahwa objek itu hitam, dan ${\displaystyle Ra}$ adalah proposisi bahwa objeknya adalah seekor gagak, maka kondisi:

${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$

cukup untuk pengamatan non-hitam non-gagak untuk memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Di sini, garis atas proposisi menunjukkan negasi logis dari proposisi itu.

Kondisi ini tidak memberitahukan kepada kita seberapa besar perbedaan dalam bukti yang tersedia, tetapi kalkulasi berikutnya dalam paper yang sama menunjukan bahwa berat bukti oleh gagak hitam melampaui berat bukti yang disediakan oleh non-gagak non-hitam sekitar ${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$. Ini sama dengan jumlah informasi tambahan (dalam bit, jika basis logaritma adalah 2) yang disediakan ketika gagak yang warnanya tidak diketahui ditemukan menjadi hitam, mengingat hipotesis bahwa tidak semua gagak berwarna hitam.

Fitelson et al.^[26] menjelaskan bahwa:

Dalam keadaan normal, ${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$ mungkin sekitar 0.9 atau 0.95; maka ${\displaystyle 1/p}$ adalah sekitar 1.11 atau 1.05. Dengan demikian, mungkin tampak bahwa satu contoh gagak hitam tidak menghasilkan lebih banyak dukungan daripada non-hitam non-gagak. Namun, dalam kondisi yang masuk akal dapat ditunjukkan bahwa urutan sampel ${\displaystyle n}$ (yaitu n gagak hitam, dibandingkan dengan non-hitam non-gagak) menghasilkan rasio rasio kemungkinan pada urutan ${\displaystyle (1/p)^{n}}$, yang meledak secara signifikan untuk ${\displaystyle n}$ yang besar.

Para penulis menunjukkan bahwa analisis mereka sepenuhnya konsisten dengan anggapan bahwa non-hitam non-gagak memberikan sejumlah kecil bukti meskipun mereka tidak berusaha untuk membuktikannya; mereka hanya menghitung selisih antara jumlah bukti yang diberikan gagak hitam dan jumlah bukti bahwa non-hitam non-gagak menyediakannya.

• Kegagalan asosiasi
• Teori angsa hitam
• Daftar paradoks

• Franceschi, P. The Doomsday Argument and Hempel's Problem, English translation of a paper initially published in French in the Canadian Journal of Philosophy 29, 139-156, 1999, under the title Comment l'urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel
• Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943.
• Hempel, C. G. "Studies in the Logic of Confirmation (I)" Mind 54, 1-26, 1945.
• Hempel, C. G. "Studies in the Logic of Confirmation (II)" Mind 54, 97-121, 1945.
• Hempel, C. G. "Studies in the Logic of Confirmation". In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin Diarsipkan 2010-03-26 di Wayback Machine., eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. 145-183.
• Whiteley, C. H. (1945). "Hempel's Paradoxes of Confirmation". Mind. 54: 156–158. doi:10.1093/mind/liv.214.156. 

• (Inggris) "Hempel's Ravens Paradox", PRIME (Platonic Realms Interactive Mathematics Encyclopedia). Diarsipkan 2005-12-11 di Wayback Machine.