Identitas Sophie Germain

Dalam matematika, identitas Sophie Germain adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}$$ Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus ${\displaystyle x^{4}+4y^{4}}$, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.^[1][2][3]

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut^[4][5] $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}}$$ Mengubah persamaan ini dengan mengalikan ${\displaystyle y}$ oleh ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ memberikan $${\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}$$ sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain.^[5] Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya History of the Theory of Numbers. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.^[5][6]

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan.^[7] Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.^[1]

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk $${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$$ tidak dapat berupa bilangan prima untuk ${\displaystyle n>1}$. (Untuk ${\displaystyle n=1}$, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika ${\displaystyle n}$ adalah bilangan genap, dan jika ${\displaystyle n}$ bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan ${\displaystyle x=n}$ dan ${\displaystyle y=2^{(n-1)/2}}$.^[3][7] Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari ${\displaystyle n=0}$) membentuk barisan bilangan bulat

Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.^[2][3]

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan ${\displaystyle x=1}$ dan ${\displaystyle y=2^{k}}$ dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}}$$ dengan ${\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$ adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum, ${\displaystyle \Phi _{4}}$ adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari ${\displaystyle \Phi _{4}}$ sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.^[8]

Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional $${\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )}.}$$ Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.^[4]