Identitas Brahmagupta–Fibonacci

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta–Fibonacci^[1][2] mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalah ketertutupan di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Sebagai contoh,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

Identitas ini dikenal juga sebagai identitas Diophantus,^[3][4] yang pertama kali dibuktikan oleh Diophantus dari Alexandria. Ini adalah kasus khusus dari identitas empat kuadrat Euler dan juga identitas Lagrange.

Brahmagupta membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum (identitas Brahmagupta), ekuivalen dengan

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Ini menunjukkan bahwa untuk sebarang konstan ${\displaystyle A}$, himpunan dari semua bilangan berbentuk ${\displaystyle x^{2}+Ay^{2}}$ adalah ketertutupan di bawah perkalian.

Identitas ini berlaku untuk semua bilangan bulat, serta semua bilangan rasional; lebih umumnya, bilangan tersebut adalah benar dalam sebarang gelanggang komutatif. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan dengan perluasan pada setiap sisi persamaan. Selain itu, persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1), atau persamaan (1) dari persamaan (2), dengan mengubah ${\displaystyle b}$ menjadi ${\displaystyle -b}$, dan begitpula untuk persamaan (3) dan persamaan (4).

Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karya Diophantus, Arithmetica (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali oleh Brahmagupta, seorang matematikawan dan astronom berkebangsaan India, yang memperumumkannya ke identitas Brahmagupta, dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini, persamaan Pell. Karya miliknya, Brahmasphutasiddhanta, diterjemahkan dari bahasa Sansekerta ke bahasa Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126.^[5] Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh Fibonacci dalam bukunya yang berjudul The Book of Squares, dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.

Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip dengan identitas empat kuadrat Euler yang terkait dengan kuaternion, dan identitas delapan kuadrat Degen yang diperoleh dari oktonion yang memiliki hubungan dengan periodisitas Bott. Adapula identitas enam belas kuadrat Pfister, meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.

Identitas ini sangat terkait dengan klasifikasi Hurwitz dari aljabar komposisi.

Jika ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, dan ${\displaystyle d}$ adalah bilangan real, maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak dari bilangan kompleks:

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: dengan memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka sifat perkalian ekuivalen dengan

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

Berdasarkan definisi nilai absolut, persamaan ini menjadi ekuivalen dengan

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Jika variabel ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, dan ${\displaystyle d}$ adalah bilangan rasional, maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa norma dalam lapangan ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.

Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusi persamaan Pell ${\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=1}$. Ketika menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

Brahmagupta mampu "menyusun" rangkap tiga ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ dan ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ untuk solusi dari ${\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=k}$, sehingga menghasilkan rangkap tiga baru

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk ${\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=1}$ yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang seringkali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada 1150, yaitu metode chakravala (siklus) yang juga didasarkan pada identitas ini.^[6]

Ketika digunakan bersama dengan salah satu dari teorema Fermat, identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali dari bilangan kuadrat dan sebarang bilangan prima dalam bentuk ${\displaystyle 4n+1}$ sama dengan jumlah dari dua bilangan kuadrat.

• Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (edisi ke-2nd), Princeton University Press, hlm. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 
• Stillwell, John (2002), Mathematics and its history (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 

• Identitas Brahmagupta di PlanetMath
• Identitas Brahmagupta di MathWorld
• Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar