Fungsi Lipschitz

Dalam analisis matematika, fungsi Lipschitz adalah fungsi yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz; sebuah bentuk tegas sifat kekontinuan seragam untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman Rudolf Lipschitz. Secara intuitif, fungsi kontinu Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah bilangan real sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di grafik fungsi, nilai mutlak dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang turunan pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz.^[1] Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan konstanta Lipschitz dari fungsi.

Dalam teori persamaan diferensial, kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema Picard–Lindelöf yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi masalah nilai awal. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut kontraksi, digunakan dalam teorema titik-tetap Banach.^[2]

Berikut adalah rantai subset untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:

Terdiferensialkan seragam ⊂ kontinu Lipschitz ⊂ kontinu Hölder-α

dengan 0 < α ≤ 1. Selain itu, juga terdapat hubungan

Kontinu Lipschitz ⊂ kontinu absolut.

Untuk dua ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d_{X})}$ dan ${\displaystyle (Y,\,d_{Y})}$, dengan ${\displaystyle d_{X}}$ menyatakan metrik pada himpunan ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle d_{Y}}$ menyatakan metrik pada himpunan ${\displaystyle Y}$, sebuah fungsi ${\displaystyle f:X\to Y}$ dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real ${\displaystyle K\geq 0}$ sedemikian sehingga, untuk semua ${\displaystyle x_{1}}$ dan ${\displaystyle x_{2}}$ di ${\displaystyle X}$ akan berlaku

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

Setiap ${\displaystyle K}$ yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai konstanta Lipschitz untuk fungsi ${\displaystyle f}$, walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai ${\displaystyle K}$ yang terkecil. Fungsi ${\displaystyle f}$ terkadang juga disebut fungsi Lipschitz-${\displaystyle K}$. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif ${\displaystyle K}$ sehingga untuk setiap real ${\displaystyle x_{1}}$ dan ${\displaystyle x_{2}}$, berlaku

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

Dalam kasus ini ${\displaystyle Y}$ adalah himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dengan metrik standar ${\displaystyle d_{Y}(y_{1},y_{2})=|y_{1}-y_{2}|}$, dan ${\displaystyle X}$ adalah subset dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Secara umum, pertidaksamaan (secara trivial) terpenuhi ketika ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$. Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta ${\displaystyle K\geq 0}$ sehingga untuk semua ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$,

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi jika dan hanya jika semua nilai mutlak kemiringan garis sekan pada fungsi terbatas oleh ${\displaystyle K}$. Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.

Sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz [secara] lokal jika untuk setiap ${\displaystyle x\in X}$ ada sebuah lingkungan ${\displaystyle U}$ dari ${\displaystyle x}$ sehingga ${\displaystyle f}$ kontinu Lipschitz di ${\displaystyle U}$.

Secara lebih umum, sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ yang terdefinisi pada ${\displaystyle X}$ dikatakan kontinu Hölder atau memenuhi kondisi Hölder pangkat (orde) ${\displaystyle \alpha >0}$ pada ${\displaystyle X}$, jika ada sebuah konstanta ${\displaystyle M\geq 0}$ sedemikian sehingga

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}$

untuk semua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$. Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai kondisi Lipschitz seragam pangkat ${\displaystyle \alpha >0}$.

Jika terdapat ${\displaystyle K\geq 1}$ dengan

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})}$

maka ${\displaystyle f}$ dikatakan bilipschitz atau bi-Lipschitz. Pemetaan bilipschitz bersifat injektif, dan faktanya sebuah homeomorfisme ke citranya. Sebuah fungsi bilipschitz sama dengan fungsi Lipschitz injektif yang fungsi inversnya juga merupakan fungsi Lipschitz.