Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan ${\displaystyle b}$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya.^[1][2][3] Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.^[4]

Katakan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan asli. Untuk basis ${\displaystyle b>1}$, kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit ^{[5] [6]} ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$, sekiranya:

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

Di mana ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$ adalah jumlah digit bilangan pada basis ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle n!}$ adalah faktorial dari ${\displaystyle n}$ dan

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

adalah nilai dari digit ke-${\displaystyle i}$ bilangan tersebut. Bilangan asli ${\displaystyle n}$ tergolong ${\displaystyle b}$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, yaitu jika ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n}$.^[7] ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle 2}$ adalah titik tetap untuk seluruh basis ${\displaystyle b}$, dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap ${\displaystyle b}$, dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis ${\displaystyle b=10}$ adalah faktorion karena ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$ .

Untuk ${\displaystyle b=2}$, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka ${\displaystyle k}$ pada basis 2 karena ${\displaystyle 0!=1!=1}$ .

Suatu bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, Di mana ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n}$ untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle k}$, dan membentuk siklus periode ${\displaystyle k}$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai ${\displaystyle k=1}$, dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai ${\displaystyle k=2}$ . ^{[8] [9]}

Semua bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah poin praperiodik untuk ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis ${\displaystyle b}$ dengan digit-digit ${\displaystyle k}$ menghasilkan ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$ .Tapi, jika ${\displaystyle k\geq b}$, maka ${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$ untuk ${\displaystyle b>2}$, jadi apapun ${\displaystyle n}$ akan menghasilkan ${\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)}$ hingga ${\displaystyle n<b^{b}}$. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari ${\displaystyle b^{b}}$, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari ${\displaystyle b^{b}}$, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk ${\displaystyle b=2}$, jumlah digit ${\displaystyle k\leq n}$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis ${\displaystyle b}$ .

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)}$ perlu jumlah iterasi ${\displaystyle i}$ untuk mencapai titik tetap ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ fungsi persistensi ${\displaystyle n}$, dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Katakan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan ${\displaystyle b=(k-1)!}$. Oleh sebab itu:

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k.}$ 

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k}$ .

Faktorion

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

Katakan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dan basis ${\displaystyle b=k!-k+1}$. Oleh sebab itu:

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$ adalah faktorion ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ untuk semua ${\displaystyle k}$ .

Basis ${\displaystyle b}$ mewakilkan semua angka.

Basis ${\displaystyle b}$	Faktorion nontrivial ( ${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle n\neq 2}$ ) [10]	Siklus
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 [9] 872 → 45362 → 872 [8]