Diferensial fungsi

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam kalkulus, diferensial mewakili bagian utama dari perubahan dalam sebuah fungsi ${\displaystyle y=f(x)}$ terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ didefinisikan oleh

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x}$

dimana ${\displaystyle f'(x)}$ merupakan turunan ${\displaystyle f}$ terhadap ${\displaystyle x}$, dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ merupakan sebuah peubah real tambahan (sehingga ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ merupakan sebuah fungsi dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$). Notasinya sehingga persamaan

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x}$

berlaku, dimana turunan diwakili dalam notasi Leibniz ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$, dan ini sesuai dengan mengenai turunan sebagai hasil bagi dari diferensial. Salah satunya juga menulis

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=f'(x)\,\mathrm {d} x}$

Arti yang tepat dari variabel ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ bergantung pada konteks dari penerapan dan aras yang dibutuhkan dari ketelitian matematis. Ranah dari variabel ini dapat diambil pada sebuah arti penting geometris khusus jiak diferensial dianggap sebagai sebuah bentuk diferensial khusus, atau arti penting analitis jika diferensial dianggap sebagai sebuah aproksimasi linear ke riapan fungsi. Secara tradisional, variabel ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ dan ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ dianggap menjadi lebih kecil (infinitesimal), dan interpretasi ini dibuat teliti dalam analisis takstandar.

Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang berpikir mengenai diferensial ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau infinitesimal) dalam nilai ${\displaystyle y}$ dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ dalam argumen fungsi ${\displaystyle x}$. Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan ${\displaystyle y}$ terhadap ${\displaystyle x}$, yang nilai dari turunan dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

dalam apa yang disebut notasi Leibniz untuk turunan. Hasil bagi ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah bilangan real.^{[butuh rujukan]}

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, The Analyst oleh Bishop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz.^[1][2] Malahan, Cauchy, mengikuti d'Alembert, membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah limit hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas mendefinisikan diferensial ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ dengan sebuah ekspresi

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x}$

di mana ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga,^[3] bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.^[4]

Menurut (Boyer 1959, hlm. 12), pendekatan Cauchy merupakan sebuah penyempurnaan logis yang penting pada pendekatan infinitesimal Leibniz karena, melainkan memohon gagasan metafisik mengenai infinitesimal, kuantitas ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ sekarang dapat dimanipulasi dalam cara yang persis seketika suatu kuantitas real lainnya dalam sebuah cara yang bermakna. Pengertian keseluruhan Cauchy mendekati diferensial menetapkan yang standar dalam pelakuan analitik,^[5] meskipun arti kata pada ketelitian, sebuah gagasan modern sepenuhnya dari limit, pada akhirnya dikarenakan Karl Weierstrass.^[6]

Dalam perlakuan fisik, seperti penerapan tersebut ke teori termodinamika, tampilan infinitesimal masih berlaku. (Courant & John 1999, hlm. 184) mempertemukan penggunaan fisik diferensial infintesimal dengan ketidakmungkinan matematis dari mereka sebagai berikut. Diferensial mewakili nilai taknol terhingga yang lebih kecil daripada derajat ketepatan dibutuhkan untuk tujuan khusus yang mereka maksudkan. Demikian "infinitesimal fisik" tidak perlu mengajukan banding dengan sebuah padanan infinitesimal matematis dalam rangka untuk memiliki sebuah arti yang tepat.^{[butuh rujukan]}

Diikuti pengembangan abad keduapuluh dalam analisis matematis dan geometri diferensial, ini menjadi jelas bahwa gagasan dari diferensial fungsi dapat diperluasw dalam berbagai cara. Dalam analisis real, ini lebih diinginkan yang secara langsung berhubungan dengan diferensial sebagai bagian utama dari riapan fungsi. Ini menuju langsung ke gagasan bahwa diferensial fungsi pada sebuah titik merupakan fungsional linear dari sebuah riapan ${\displaystyle \Delta x}$. Pendekatan ini memungkinkan diferensial (sebagai sebuah pemetaan linear) menjadi dikembangkan untuk beragam ruang-ruang canggih yang lebih banyak, pada akhirnya menimbulkan gagasan tersebut sebagai turunan Fréchet atau Gateaux. Demikian juga, dalam geometri diferensial, diferensial dungsi pada sebuah titik merupakan fungsi linear dari sebuah vektor singgung (sebuah perpindahan yang sangat kecil), yang dapat sendirinya ditaruh pada sebuah pijakan ketelitian (lihat diferensial (infinitesimal)).^{[butuh rujukan]}

Diferensial didefinisikan dalam perlakuan modern kalkulus diferensial sebagai berikut.^[7] Diferensial fungsi ${\displaystyle f(x)}$ dari sebuah peubah real tunggal ${\displaystyle x}$ merupakan fungsi ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ dari dua peubah real bebas ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle \Delta x}$ diberikan oleh

${\displaystyle \mathrm {d} f(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x}$

Satu atau dua dari argumen dapat ditekan, yaitu, salah satunya dapat melihat ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ atau menyederhanakan ${\displaystyle \mathrm {d} f}$. Jika ${\displaystyle y=f(x)}$, diferensial juga dapat ditulis sebagai ${\displaystyle \mathrm {d} y}$. Karena ${\displaystyle \mathrm {d} x(x,\Delta x)=\Delta x}$, ini konvensional untuk menulis ${\displaystyle \mathrm {d} x=\Delta x}$, jadi bahwa persamaan berikut berlaku:

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=f'(x)\,\mathrm {d} x}$

Gagasan ini yang mengenai diferensial dapat diterapkan secara luas ketika sebuah aproksimasi linear untuk sebuah fungsi dicari, yang mana nilai dari riapan ${\displaystyle \Delta x}$ cukup kecil. Lebih tepatnya, jika ${\displaystyle f}$ merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan pada ${\displaystyle x}$, maka bedanya dalam nilai-${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Delta y{\stackrel {\rm {def}}{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}$

memenuhi

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon }$

dimana galat ${\displaystyle \varepsilon }$ dalam aproksimasi memenuhi ${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\to 0}$ ketika ${\displaystyle \Delta x\to 0}$. Dengan kata lain, salah satunya memiliki identitas aproksimasi

${\displaystyle \Delta y\approx \mathrm {d} y}$

yang mana galatnya dapat dibuat sekecil yang diinginkan yang berkaitan dengan ${\displaystyle \Delta x}$ dengan menghambat ${\displaystyle \Delta x}$ menjadi cukup kecil, hal tersebut dikatakan,

${\displaystyle {\frac {\Delta y-\mathrm {d} y}{\Delta x}}\to 0}$

ketika ${\displaystyle \Delta x\to 0}$. Untuk alasan ini, diferensial fungsi dikenal sebagai bagian (linear) utama dalam riapan fungsi: diferensial merupakan sebuah fungsi linear dari riapan ${\displaystyle \Delta x}$, dan meskipun galat ${\displaystyle \varepsilon }$ dapat menjadi taklinear, ini cenderung ke nol dengan cepat ketika ${\displaystyle \Delta x}$ cenderung ke nol.

Operator atau fungsi	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Diferensial	1: $${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$$	2: $${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$$3: $${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}$$
Turunan parsial	$${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$$	$${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$$
Turunan total	$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$$	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+f'_{v}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}};\left(f'_{y}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\right)}$$

Diikuti (Goursat 1904, I, §15), untuk fungsi yang lebih dari satu variabel bebas,

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

diferensial parsial ${\displaystyle y}$ terhadap salah satu dari variabel ${\displaystyle x_{1}}$ adalah bagian utama dari perubahan dalam ${\displaystyle y}$ dihasilkan dari sebuah perubahan ${\displaystyle \mathrm {d} x_{1}}$ dalam satu variabel tersebut. Diferensial parsial adalah

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}}$

melibatkan turunan parsial ${\displaystyle y}$ terhadap ${\displaystyle x_{1}}$. Jumlah dari diferensial parsial terhadap semua dari variabel beas merupakan diferensial total

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}}$

di mana bagian utama dari perubahan ${\displaystyle y}$ dihasilkan dari perubahan dalam variabel bebas ${\displaystyle x_{i}}$.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multipeubah, diikuti (Courant 1937b), jika ${\displaystyle f}$ merupakan fungsi terdiferensialkan, maka oleh definisi dari keterdiferensialan, riapan

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

dimana istilah galat ${\displaystyle \varepsilon }$ cenderung ke nol sebagai riapan ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ bersama-sama cenderung ke nol. Diferensial total kemudian dengan teliti didefinisikan sebagai

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}}$

Karena, dengan definisi ini,

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i}}$

salah satunya memiliki

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,\mathrm {d} x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,\mathrm {d} x_{n}}$

Seperti dalam kasus satu variabel, identitas hampirannya berlaku

${\displaystyle \mathrm {d} y\approx \Delta y}$

yang mana galat total dapat dibuat sekecil mungkin berkaitan dengan ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\dots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ dengan membatasi perhatian untuk riapan kecil yang cukup.

Dalam pengukuran, diferensial total digunakan dalam pendugaan galat ${\displaystyle \Delta f}$ fungsi ${\displaystyle f}$ berdasarkan galat ${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\dots }$ dari parameter ${\displaystyle x,y,\dots }$. Asumsi bahwa selangnya cukup pendek untuk perubahan menjadi hampir linear

${\displaystyle \Delta f=f'(x)\cdot \Delta x}$

dan bahwa semua peubah adalah bebas, maka untuk semua peubah,

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

Ini dikarenakan turunan ${\displaystyle f_{x}}$ terhadap parameter khusus ${\displaystyle x}$ memberikan kepekaan dari fungsi ${\displaystyle f}$ untuk sebuah perubahan dalam ${\displaystyle x}$, khususnya galat ${\displaystyle \Delta x}$. Karena mereka diasumsikan menjadi bebas, analisisnya menjelaskan skenario terburuk. Nilai mutlak dari galat komponen digunakan, karena setelah penghitungan yang sederhana, turunan dapat memiliki sebuah tanda negatif. Dari prinsip ini, kaidah galat penjumlahan, perkalian, dst. diturunkan, yakni:

• Misalkan ${\displaystyle f(a,b)=a\cdot b}$;

• ${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b}$; mengevaluasi turunan

• ${\displaystyle \Delta f=b\cdot \Delta a+a\cdot \Delta b}$; membagi dengan ${\displaystyle f}$, yang mana ${\displaystyle a\cdot b}$

• ${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}}$

Itu dikatakan, dalam perkalian, galat nisbi total merupakan jumlah dari galat nisbi dari parameter.

Untuk mengilustrasikan bagaimana ini bergantung pada fungsi yang dianggap, anggap kasusnya dimana fungsinya adalah ${\displaystyle f(a,b)=a\cdot \ln b}$ sebagai gantinya. Maka, ini dapat dihitung bahwa penduga galatnya adalah

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\cdot \ln b}}}$$

dengan sebuah faktor "${\displaystyle \ln b}$" tambahan tidak ditemukan dalam kasus darab sederhana. Faktor tambahan ini cenderung membuat galat menjadi lebih kecil, karena ${\displaystyle \ln b}$ tidak sebesar

Diferensial fungsi tingkat tinggi ${\displaystyle y=f(x)}$ dari sebuah peubah ${\displaystyle x}$ dapat didefinisikan melalui:^[8]

$${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}y=\mathrm {d} (\mathrm {d} y)=\mathrm {d} (f'(x)\mathrm {d} x)=(\mathrm {d} f'(x))\mathrm {d} x=f''(x)\,(\mathrm {d} x)^{2}}$$

dan, umumnya,

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}y=f^{(n)}(x)\,(\mathrm {d} x)^{n}}$

Secara informal, ini memotivasi notasi Leibniz untuk turunan tingkat tinggi

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}}$

Ketika peubah bebas ${\displaystyle x}$ itu sendiri boleh bergantung pada peubah lainnya, maka ekspresinya menjadi lebih rumit, karena ini juga harus termasuk diferensial tingkat tinggi di ${\displaystyle x}$ itu sendiri. Demikian, sebagai contohnya,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}y&=f''(x)\,(\mathrm {d} x)^{2}+f'(x)\mathrm {d} ^{2}x\\\mathrm {d} ^{3}y&=f'''(x)\,(\mathrm {d} x)^{3}+3f''(x)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} ^{2}x+f'(x)\mathrm {d} ^{3}x\end{aligned}}}$

dan seterusnya.

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika ${\displaystyle f}$ merupakan sebuah fungsi dua variabel ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, maka

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(\mathrm {d} )^{k}(\mathrm {d} y)^{n-k}}$

dimana ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ merupakan sebuah koefisien binomial. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi multinomial daripada ekspansi binomial.^[9]

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(\mathrm {d} x)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(\mathrm {d} y)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} ^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} ^{2}y}$

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh Hadamard 1935, yang menyimpulkan:

Enfin, que signifie ou que repésente l'égalité

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}z=r\,\mathrm {d} x^{2}+2s\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+t\,\mathrm {d} y^{2}\,?}$

A mon avis, rien du tout.

Yang artinya: Akhirnya, apakah yang dimaksudkan, atau diwakili, oleh persamaan [...]? Menurut pendapatku, tidak ada sama sekali. Meski ketidakpercayaan ini, diferensial tingkat tinggi muncul sebagai sebuah alat yang penting dalam analisis.^[10]

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke-${\displaystyle n}$ dari fungsi ${\displaystyle f}$ berlaku dengan sebuah riapan ${\displaystyle \Delta x}$ didefinisikan oleh

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

dimana ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$ merupakan sebuah beda maju ke-${\displaystyle n}$ dengan riapan ${\displaystyle t\Delta x}$.

Definisi ini masuk akal juga jika ${\displaystyle f}$ merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke-${\displaystyle n}$ didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah fungsi homogen derajat ${\displaystyle n}$ dalam riapan vektor ${\displaystyle \Delta x}$. Lebih lanjut, deret Taylor dari ${\displaystyle f}$ pada titik ${\displaystyle x}$ diberikan oleh

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+\mathrm {d} f(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}\mathrm {d} ^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}\mathrm {d} ^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

Turunan Gateaux tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.

Jumlah sifat-sifat dari diferensial berikut dalam sebuah cara yang mudah dari sifat-sifat yang berpadanan dari turunan, turunan parsial, dan turunan total. Ini termasuk:^[11]

• Kelinearan: Untuk tetapan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dan fungsi terdiferensialkan ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$,

$${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\,\mathrm {d} f+b\,\mathrm {d} g}$$

• Kaidah darab: Untuk dua fungsi terdiferensialkan ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle \mathrm {d} (fg)=f\,\mathrm {d} g+g\,\mathrm {d} f}$

Sebuah operasi ${\displaystyle \mathrm {d} }$ dengan dua sifat-sifat ini dikenal dalam aljabar abstrak sebagai sebuah penurunan. Mereka menyiratkan kaidah pangkat

${\displaystyle \mathrm {d} (f^{n})=nf^{n-1}\mathrm {d} f}$

Sebagai tambahan, berbagai bentuk dari kaidah rantai berlaku, dalam meningkatkan aras keumuman.^[12]

• Jika ${\displaystyle y=f(u)}$ merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle u=g(x)}$ merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah, maka

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(u)\,\mathrm {d} u=f'(g(x))g'(x)\,\mathrm {d} x}$

• Jika ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ dan semua dari peubah ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ bergantung pada peubah lain ${\displaystyle t}$, maka oleh kaidah rantai untuk turunan parsial, salah satunya memiliki

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} y&={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Secara heuristik, kaidah rantai untuk beberapa peubah dapat diri sendiri menjadi dipahamai dengan membagi melalui kedua ruas mengenai persamaan ini oleh kuantitas sangat kecil ${\displaystyle \mathrm {d} t}$.

• Lebih umum ekspresi sejalan berlaku; di mana peubah antara ${\displaystyle x_{i}}$ bergantung pada lebih dari satu peubah.

Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ di antara dua ruang Euclides. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {x} ,\Delta \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ menjadi sebuah pasangan vektor Euclides. Riapan dalam fungsi ${\displaystyle f}$ adalah

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} )}$

Jika terdapat sebuah matriks ${\displaystyle A}$ dengan ukuran ${\displaystyle m\times n}$ sehingga

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

di mana vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\to 0}$ sebagai ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} \to 0}$, maka ${\displaystyle f}$ oleh definisi terdiferensialkan pada titik ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Matriks ${\displaystyle A}$ terkadang dikenal sebagia matriks Jacobi, dan transformasi linear yang mengaitkan ke riapan ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, vektor ${\displaystyle A\Delta \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ dari ${\displaystyle f}$ pada titik ${\displaystyle x}$. Ini tepatnya turunan Fréchet, dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu ruang Banach.

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai turunan berarah:

${\displaystyle \mathrm {d} f(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0}}$

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika ${\displaystyle t}$ mewakili waktu dan ${\displaystyle \mathbf {x} }$ posisi, maka ${\displaystyle \mathbf {h} }$ mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah ruang garis singgung; dan juga ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah bentuk diferensial. Dengan interpretasi ini, diferensial dari ${\displaystyle f}$ dikenal sebagai turunan luar, dan memiliki penerapan yang luas dalam geometri diferensial karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu manifold terdiferensialkan. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai pushforward (en) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.

Meskipun gagasannya memiliki sebuah riapan infinitesimal ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ tidak dirumuskan dengan baik dalam analisis matematis modern, sebuah beragam mengenai teknik-teknik ada untuk mendefinisikan diferensial infinitesimal sehingga diferensial fungsi dapat ditangani dalam cara yang tidak bertentangan dengan notasi Leibniz. Ini termasuk:

• Mendefinisikan diferensial sebagai sebuah jenis bentuk diferensial, khususnya turunan luar fungsi. Riapan infinitesimal kemudian diidentifikasikan dengan vektor dalam ruang garis singgung pada sebuah titik. Pendekatan ini terkenal dalam geometri diferensial dan medan yang berkaitan, karena ini segera merampat untuk memetakan antara manifold terdiferensialkan.
• Diferensial sebagai unsur nilpoten mengenai gelanggang komutatif. Pendekatan ini terkenal dalam geometri aljabar.^[13]
• Diferensial dalam model yang mulus mengenai teori himpunan. Pendekatan ini dikenal sebagai geometri diferensial sintetik atau analisis infinitesimal mulus dan berkaitan erat dengan pendekatan geometrik aljabar, kecuali bahwa gagasan dari teori topos digunakan untuk menyembunyikan mekanisme dimana infintesimal nilpoten diperkenalkan.^[14]
• Diferensial sebagai infintesimal dalam sistem bilangan hiperreal, yang mana perluasan dari bilangan real yang berisi infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang sangat besar. Ini merupakan pendekatan analisis takstandar dirintis oleh Abraham Robinson.^[15]

Diferensial dapat menjadi secara efektif digunakan dalam analisis numerik untuk mempelajari perambatan mengenai galat percobaan dalam sebuah perhitungan, dan demikian kestabilan numeris secara keseluruhan dari sebuah masalah (Courant 1937a). Andaikan bahwa peubah ${\displaystyle x}$ mewakili hasil percobaan dan ${\displaystyle y}$ merupakan hasil komputasi numeris yang berlaku dengan ${\displaystyle x}$. Pertanyaannya adalah dengan apakah galat luasnya dalam pengukuran ${\displaystyle x}$ mempengaruhi nilai dari komputasi ${\displaystyle y}$. Jika ${\displaystyle x}$ dikenal oleh ${\displaystyle \Delta x}$ dari nilai kebenarannya, maka teorema Taylor memberikan dugaan pada galat ${\displaystyle \Delta y}$ dalam komputasi ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

dimana ${\displaystyle \xi =x+\theta \Delta x}$ untuk suatu ${\displaystyle 0<\theta <1}$. Jika ${\displaystyle \Delta x}$ kecil, maka suku orde kedua diabaikan, sehingga ${\displaystyle \Delta y}$, untuk tujuan praktis, perkiraan oleh ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\Delta x}$.

Diferensial sering kali berguna untuk menulis ulang sebuah persamaan diferensial.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x)}$

dalam bentuk

${\displaystyle \mathrm {d} y=g(x)\,\mathrm {d} x}$

..., khususnya ketika salah satunya untuk memisahkan peubah.

1. ^ Untuk sebuah akun bersejarah terperinci mengenai diferensial, lihat Boyer 1959, termasuk di hlm. 275 untuk kontribusi Cauchy pada subjek. Sebuah akun yang disingkat muncul di Kline 1972, Chapter 40.
2. ^ Cauchy dengan tegas menolak kemungkinan mengenai infinitesimal dan kuantitas takhingga yang sebenarnya (Boyer 1959, hlm. 273–275), dan mengambil sudut pandang yang berbeda secara radikal bahwa "sebuah kuantitas peubah menjadi sangat kecil ketika nilai numeriknya menurun tanpa batas sedemikian rupa seiring konvergen menuju nol" (Cauchy 1823, hlm. 12; penerjemah dari Boyer 1959, hlm. 273).
3. ^ Boyer 1959, hlm. 275
4. ^ Boyer 1959, hlm. 12: "Diferensial sebagai demikian didefinisikan hanya peubah baru, dan bukan infinitesimal tetap..."
5. ^ Courant 1937a, II, §9: "Disini kita hanya sekedar menandai ulang dalam menyampaikan bahwa ini mungkin untuk menggunakan aproksimasi ini yang diwakili dari kenaikannya ${\displaystyle \Delta y}$ oleh ekspresi linear ${\displaystyle hf(x)}$ untuk membangun sebuah definisi memuaskan secara logis dari sebuah "diferensial", seketika dilakukan oleh Cauchy khususnya."
6. ^ Boyer 1959, hlm. 284
7. ^ Lihat, sebagai contoh, perjanjian yang berpengaruh dari Courant 1937a, Kline 1977, Goursat 1904, dan Hardy 1905. Sumber tersier untuk definisi ini termasuk juga Tolstov 2001 dan Itô 1993, §106.
8. ^ Cauchy 1823. Lihat juga, sebagai contoh, Goursat 1904, I, §14.
9. ^ Goursat 1904, I, §14
10. ^ Khususnya untuk holomorfi dimensi takhingga(Hille & Phillips 1974) dan analisis and analisis numerik melalui kalkulus mengenai beda hingga.
11. ^ Goursat 1904, I, §17
12. ^ Goursat 1904, I, §§14,16
13. ^ Eisenbud & Harris 1998.
14. ^ Lihat Kock 2006 dan Moerdijk & Reyes 1991.
15. ^ Lihat Robinson 1996 dan Keisler 1986.

• Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications, MR 0124178 
• Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications, MR 0124178 
• Courant, Richard (1937a), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan tanggal 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 
• Courant, Richard (1937b), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan tanggal 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559 
• Courant, Richard; John, Fritz (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554 
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5 
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 42: 293–323, ISSN 0012-9593, MR 1509268 
• Goursat, Édouard (1904), A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications (dipublikasikan tanggal 1959), MR 0106155 
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette, XIX (236): 341–342, JSTOR 3606323 
• Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09227-2 
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 0423094 
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (edisi ke-2nd), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4 
• Kline, Morris (1977), "Chapter 13: Differentials and the law of the mean", Calculus: An intuitive and physical approach, John Wiley and Sons 
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times (edisi ke-3rd), Oxford University Press (dipublikasikan tanggal 1990), ISBN 978-0-19-506136-9 
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (edisi ke-2nd) 
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (edisi ke-2nd), Cambridge University Press 
• Moerdijk, I.; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag 
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3 
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3 

• Differential Of A Function di Wolfram Demonstrations Project